Nierówność Gronwalla

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierówność Gronwalla – jedna z podstawowych nierówności stosowanych w teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Stosowana jest m. in. w twierdzeniach o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy przez szwedzkiego matematyka, T.H. Grönwalla w 1918[1].

Nierówność Gronwalla[edytuj | edytuj kod]

Niech (a,b) będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech t0 ∈ (a,b). Niech ponadto α, β, u będą funkcjami ciągłymi określonymi na (a,b) o wartościach w R+. Jeżeli dla każdego t ∈ (a,b) zachodzi nierówność

u(t) \leqslant \alpha (t) + \left| \int_{t_0}^{t} \beta (s) u(s)\, {\rm d}s \right|,

to dla każdego t ∈ (a,b) zachodzi również

u(t) \leqslant \alpha (t) + \left| \int_{t_0}^{t} \alpha (s) \beta (s) e^{\left| \int_{s}^{t} \beta (\xi)\,{\rm d} \xi \right|}\, \mbox{d}s \right|.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Poniższy dowód pochodzi od J. A. Oguntuase [2].

Niech

v(t) = \int_{t_0}^{t} \beta (s) u(s) \mbox{d}s.

Wówczas

v^{\prime} (t) = \beta (t) u(t) \leqslant \alpha (t) \beta (t) + \beta(t) \left| \int_{t_0}^{t} \beta (s) u(s)\, \mbox{d}s \right| = \alpha (t) \beta (t) + \beta(t)\cdot \mbox{sgn} (t-t_0) v(t).

Ponadto, niech

\gamma (t) = e^{-\int_{t_0}^{t} {\rm sgn}(s-t_0)\beta(s)\,{\rm d}s}.

Mnożąc otrzymaną nierówność stronami przez γ(t) otzymujemy

\gamma (t) v^{\prime} (t) \leqslant \alpha (t) \beta(t) \gamma (t) - v(t) \gamma^{\prime} (t).

Ostatecznie,

\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}(\gamma(t)v(t)) - \alpha(t) \beta(t) \gamma (t) \leqslant 0.

Wynika z powyższego, iż

\mbox{sgn}(t-t_0) \int_{t_0}^{t} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} (\gamma(s)v(s)) - \alpha(s)\beta(s)\gamma(s) \,{\rm d}s \leqslant 0.

Czyli

\mbox{sgn}(t-t_0)\gamma(t)v(t) \leqslant \mbox{sgn}(t-t_0)\int_{t_0}^{t}\alpha(s)\beta(s)\gamma(s)\, \mbox{d}s.

Ostatecznie,

\begin{array}{lcl}u(t) &\leqslant &\alpha(t) + \left| \int_{t_0}^{t} \beta(s) u(s) \,{\rm d}s \right|\\
& =& \alpha(t) + \mbox{sgn}(t-t_0)v(t)\\
&\leqslant&  \alpha(t) + \left| \int_{t_0}^{t} \alpha(s) \beta(s) \frac{\gamma(s)}{\gamma(t)}\, \mbox{d}s \right|\\
& = &\alpha (t) + \left| \int_{t_0}^{t} \alpha (s) \beta (s) e^{\left| \int_{s}^{t} \beta (\xi)\,{\rm d} \xi \right|} \,\mbox{d}s \right|.\end{array}

Postać różniczkowa nierówności[edytuj | edytuj kod]

Niech I=[a,b] będzie odcinkiem na prostej rzeczywistej przy a<b. Niech β i u będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na odcinku I. Jeżeli u jest funkcją różniczkowalną na wnętrzu int(I)=(a,b) oraz zachodzi szacowanie u'(t) \leq \beta(t) u(t) dla wszystkich t ∈ (a,b), to zachodzi nierówność u(t) \leq u(a) \cdot \exp \left( \int_a^t \beta(s) \mathrm{d}s \right) dla wszystkich t ∈ I = [a,b].

Przypisy

  1. T. H. Gronwall, Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, Ann. of Math. 20 (1918), 292–296.
  2. J. A. Oguntuase, On an inequality of Gronwall, J. Inequal. Pure and App. Math. 2 (2001), 6 ss.