Nierówność Jensena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierówność Jensena mówi, że jeżeli f jest funkcją wypukłą określoną na przedziale P liczb rzeczywistych, to wartość tej funkcji na kombinacji wypukłej elementów przedziału P nie przekracza kombinacji wypukłej wartości funkcji w tych punktach (przy czym obie kombinacje wypukłe mają te same współczynniki). Nazwa nierówności pochodzi od nazwiska Johana Jensena, duńskiego matematyka i inżyniera.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnych liczb a_1,a_2,\ldots,a_n\in [0,1], nazywanych wagami, spełniających warunek:

a_1+a_2+\ldots+a_n=1,

oraz dowolnych liczb

x_1,x_2,\ldots, x_n\in P

(gdzie P\subseteq \mathbb R jest przedziałem) i dowolnej funkcji f wypukłej w P, prawdziwa jest nierówność:

f\left(\sum^n_{i=1}a_ix_i\right)\leqslant \sum^n_{i=1}a_if(x_i),

którą nazywa się nierównością Jensena. Dla funkcji wklęsłych prawdziwa jest nierówność w przeciwną stronę.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód indukcyjny ze względu na n.

Dla n = 1 nierówność jest oczywista. Dla n = 2 uzyskujemy definicję funkcji wypukłej.

Niech n \geqslant 2. Założenie indukcyjne jest następujące:

f\left(\sum_{i=1}^{n} a_ix_i\right) \leqslant \sum_{i=1}^{n} a_if(x_i)

gdzie  x_i należą do przedziału  P oraz a_1+a_2+\ldots +a_n=1 .

Teza indukcyjna to:

f\left(\sum_{i=1}^{n+1} b_i x_i \right) \leqslant \sum_{i=1}^{n+1} b_i f(x_i) .

gdzie  x_i należą do przedziału  P oraz b_1+b_2+\ldots+b_{n+1}=1.

Niech  x_i \in P oraz b_1+b_2+\ldots+b_{n+1}=1 . Bez straty ogólności można założyć, że  b_{n+1} \not= 0 . Wówczas:

f\left(\sum_{i=1}^{n+1} b_i x_i \right) = f \left( b_1 x_1 + \dots + b_{n+1} x_{n+1} \right) =
 = f \left( b_1 x_1 + \dots + b_{n-1} x_{n-1} + (b_n + b_{n+1}) (\tfrac{b_n}{b_n + b_{n+1}} x_n + \tfrac{b_{n+1}}{b_n + b_{n+1}} x_{n+1}) \right) \leqslant

Korzystając z założenia indukcyjnego:

 \leqslant b_1 f(x_1) + \dots + b_{n-1} f(x_{n-1}) + (b_n + b_{n+1}) f(\tfrac{b_n}{b_n + b_{n+1}} x_n + \tfrac{b_{n+1}}{b_n + b_{n+1}} x_{n+1}) \leqslant

Z definicji funkcji wypukłej:

 \leqslant b_1 f(x_1) + \dots + b_{n-1} f(x_{n-1}) + (b_n + b_{n+1}) \tfrac{b_n}{b_n + b_{n+1}} f(x_n) + (b_n + b_{n+1}) \tfrac{b_{n+1}}{b_n + b_{n+1}} f(x_{n+1}) =
 b_1 f(x_1) + \dots + b_{n-1} f(x_{n-1}) + b_n f(x_n) + b_{n+1} f(x_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1} b_i f(x_i)

co kończy dowód.

Funkcja wklęsła[edytuj | edytuj kod]

Aby udowodnić nierówność gdy f jest funkcją wklęsłą, wystarczy zauważyć, że -f jest funkcją wypukłą. Stąd oraz nierówności Jensena:

(-f)\left(\sum^n_{i=1}a_ix_i\right)\leqslant \sum^n_{i=1}a_i(-f)(x_i),

co jest równoważne nierówności

f\left(\sum^n_{i=1}a_ix_i\right)\geqslant \sum^n_{i=1}a_if(x_i) .

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Nierówność Jensena w rachunku prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

Niech f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R będzie funkcją wypukłą, X\ będzie zmienną losową, oraz f,\ f(X) będą całkowalne. Wówczas dla wartości oczekiwanej nierówność ma postać:

  • f\big (\mathbb E(X)\big ) \leq \mathbb E\big (f(X)\big )


Jeżeli ponadto \mathcal G jest odpowiednim σ-ciałem zdarzeń, to dla warunkowej wartości oczekiwanej nierówność ma postać:

  • f\big (\mathbb E(X|\mathcal G)\big ) \leq \mathbb E\big (f(X)\big |\mathcal G\big )

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]