Nierówność Markowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierówność Markowa jest nierównością używaną w rachunku prawdopodobieństwa, która wynika bezpośrednio z Nierówności Czebyszewa.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Dla każdej zmiennej losowej \,X o wartości oczekiwanej \,E(X) i dla każdego \, \varepsilon > 0 oraz \,p > 0:

P\left(\left|X\right| \geqslant \varepsilon\right)\leqslant \frac{E(\left|X\right|^p)}{\varepsilon^p}

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Nierówność Markowa wynika bezpośrednio z podstawienia w Nierówności Czebyszewa \,{\left|{X}\right|}^p zamiast \,X oraz \, {\varepsilon}^p zamiast \, \varepsilon, której to nierówności dowód jest podany w dotyczącym jej haśle.

Jest tak ponieważ \, {\left|{X}\right|}^p \geqslant {\varepsilon}^p \iff X \geqslant \varepsilon (w założeniach Nierówności Czebyszewa było \, X \geqslant 0, oraz \, p>0)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]