Nierówność Poincarégo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Nierówność Poincarégo - rezultat dotyczący ograniczania normy L^p funkcji (pomniejszonej o średnią całkową) z przestrzeni Sobolewa przez normę jej gradientu.

Wypowiedź[edytuj | edytuj kod]

Niech 1 \le p < +\infty oraz \Omega będzie otwartym, ograniczonym i spójnym podzbiorem \mathbb{R}^{n} o brzegu klasy C^{1}. Wtedy istnieje taka stała  C>0 , że dla każdej funkcji u należącej do przestrzeni Sobolewa W^{1, p}(\Omega) zachodzi:

 \| u - (u)_{\Omega} \| _{L^p} \le C \| \nabla u \| _{L^p} ,

gdzie:

  • (u)_{\Omega} = \frac{1}{m(\Omega)} \int_{\Omega} u(x)dx jest średnią całkową funkcji u na \Omega,
  • m(\Omega) oznacza miarę Lebesgue'a na \mathbb{R}^{n} zbioru \Omega,
  • \| \nabla u \| _{L^p} jest dane wzorem:
\| \nabla u \| _{L^p} = (\sum_{j=1}^{n} \| \frac{\partial u}{\partial x_{j}} \| ^{p}_{L^p} )^{1/p} .

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.