Nierówność wariacyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Nierówność wariacyjna jest pojęciem z pogranicza rachunku wariacyjnego i teorii zbiorów wypukłych. Najogólniejsza postać tego zagadnienia podana poniżej pochodzi od Stuarta Antmana[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dla danej przestrzeni Banacha \scriptstyle E, oraz jej podzbioru \scriptstyle K i funkcjonału \scriptstyle F:\boldsymbol{K}\rightarrow\boldsymbol{E}^\ast z \scriptstyle K do przestrzeni dualnej \scriptstyle E^* do przestrzeni \scriptstyle E, nierównością wariacyjną jest problem rozwiązania względem zmiennej \scriptstyle x przebiegającej zbiór \scriptstyle K następującej nierówności:

\langle F(x), y-x \rangle \geq 0\qquad\forall_{y \in \boldsymbol{K}}

gdzie \scriptstyle\langle\cdot,\cdot\rangle: \boldsymbol{E}^*\times\boldsymbol{E}\rightarrow\mathbb{R} jest dualnością wyrażającą się wzorem \scriptstyle\langle x, x^*\rangle = x^* (x), gdzie \scriptstyle x \in E, x^* \in E^*.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Minimum funkcji na przedziale[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle F: I \to \mathbb{R} będzie funkcją gładką (tzn. różniczkowalną o ciągłej pochodnej), gdzie \scriptstyle I = [a; b] \subset \mathbb{R}. Jeśli chcemy znaleźć punkt \scriptstyle x_0 \in I, w którym

f(x_0) = \min_{x \in I} f(x).

Możliwe są wtedy trzy przypadki:

  • \scriptstyle a < x_0 < b i wtedy \scriptstyle f' (x_0) = 0,
  • \scriptstyle x_0 = a i wtedy \scriptstyle f' (x_0) \geqslant 0,
  • \scriptstyle x_0 = b i wtedy \scriptstyle f' (x_0) \leqslant 0.

Wszystkie one mogą być zapisane za pomocą nierówności wariacyjnej[2]:

f'(x_0) (x - x_0) \geqslant 0 \qquad\forall_{x \in I}.

Rozwiązanie tej nierówności prowadzi do znalezienia minimum funkcji na przedziale.

Minimum funkcji na zbiorze wypukłym[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle F: K \to \mathbb{R} będzie funkcją gładką określoną na domkniętym wypukłym podzbiorze \scriptstyle K \subset \mathbb{R}^n, n \in \mathbb{Z}_+. Ponadto niech \scriptstyle x_0 \in K będzie takim punktem, że

f(x_0) = \min_{x \in K} f(x).

Ponieważ zbiór \scriptstyle K jest wypukły, więc odcinek

\{(1 - t) x_0 + tx: 0 \leqslant t \leqslant 1\}

leży w zbiorze \scriptstyle K i można rozpatrzeć funkcję

\Phi (t) = f(x_0 + t(x - x_0)), gdzie 0 \leqslant t \leqslant 1.

Osiąga ona minimum dla \scriptstyle t = 0 i dlatego z przykładu poprzedniego wynika, że

\Phi' (t) = \operatorname{grad} f(x_0) (x - x_0) \geqslant 0 \qquad\forall_{x \in K}

Zatem punkt \scriptstyle x_0 \in K spełnia nierówność[3]:

\operatorname{grad} f(x_0) (x - x_0) \geqslant 0 \qquad\forall_{x \in K}.

Jeśli zbiór \scriptstyle K jest ograniczony, to istnienie takiego punktu wynika ze zwartości zbioru \scriptstyle K.

Rozwiązanie tej nierówności prowadzi zatem do znalezienia minimum funkcji na zbiorze domkniętym wypukłym.

Badanie membrany[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle \Omega \subset \mathbb{R}^N będzie obszarem o brzegu \scriptstyle \partial \Omega i niech \scriptstyle \psi:\overline{\Omega} \to \mathbb{R}, gdzie \scriptstyle \overline{\Omega} = \Omega \cup \partial \Omega, będzie taką funkcją, że

\operatorname{\max}_{\Omega} \psi \geqslant 0 i \psi \leqslant 0

na \scriptstyle \partial \Omega.

Niech

K = \{ \upsilon \in \mathcal{C}^1(\overline{\Omega}) : \upsilon \geqslant \psi \text{ na } \Omega \text{ i } \upsilon = 0 \text{ na } \partial \Omega \}

Zbiór K jest wypukły i dla rozsądnie wybranych funkcji \psi jest niepusty. Należy znaleźć taką funkcję u \in K, dla której

\int\limits_{\Omega} |\operatorname{grad} u|^2 dx = \operatorname{min}_{\upsilon \in K} \int\limits_{\Omega} |\operatorname{grad} \upsilon|^2 dx.

Problem ten prowadzi do nierówności wariacyjnej

\int\limits_{\Omega} |\operatorname{grad} u\operatorname{grad} (\upsilon - u) dx

dla każdego \upsilon \in K.

Przypisy

  1. Stuart Antman. The influence of elasticity in analysis: modern developments. „Bulletin of the American Mathematical Society”. 9 (3), s. 267–291, 1983. American Mathematical Society. doi:10.1090/S0273-0979-1983-15185-6 (ang.). 
  2. D. Kinderlehrer, G. Stampacchia: An Introduction to Varnational Inequalities and their Applications (tłum. ros.). Москва: Мир, 1983, s. 9. (ros.)
  3. Kinderlehrer, Stampacchia, op. cit., s. 10