Nierozwiązane problemy w matematyce

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierozwiązane problemy w matematyce są to problemy rozpatrywane przez matematyków, ale dotychczas nierozwiązane. Często mają charakter hipotez, które są najprawdopodobniej prawdziwe, ale wymagają dowodów.

Trzy największe matematyczne problemy starożytności zostały rozstrzygnięte przez dziewiętnastowiecznych matematyków którzy udowodnili, że linijka i cyrkiel nie są wystarczające do przeprowadzenia dokładnego:

W świecie naukowym popularne są listy otwartych kwestii organizowane przez znanych naukowców i organizacje. W szczególności istnieją listy otwartych problemów matematycznych:

Z biegiem czasu wiele problemów umieszczonych na tych listach udaje się rozwiązać i przestają one być problemami otwartymi – z hipotez zmieniają się w twierdzenia. W szczególności większość (z 23) problemów postawionych przez Hilberta w roku 1900 została już rozwiązana.

Bardziej szczegółowe są zestawienia otwartych problemów tworzone przez matematyków w określonych specjalnościach. Do najbardziej znanych należą:

  • Kourowski zeszyt (Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп) – zawiera kilkaset nierozwiązanych problemów z teorii grup[1];
  • Dniestrowski zeszyt (Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей) – zawiera kilkaset nierozwiązanych problemów z teorii pierścieni i modułów[2].

Aksjomatyczna teoria mnogości[edytuj | edytuj kod]

Algebra[edytuj | edytuj kod]

  • Odwrotna hipoteza teorii Galois. Dla dowolnej skończonej grupy H znajdują ciała \mathbf{F} i \mathbf{G}, takie, że \mathbf{G} zawiera \mathbf{F} i \mathrm{Gal}(\mathbf{G}/\mathbf{F}) jest izomorfoczne z H[5][6].

Analiza matematyczna[edytuj | edytuj kod]

\gamma =\lim_{n \to \infty}\left(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3}  +\dots+ \frac{1}{n} - \ln(n)\right)=\lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} - \ln(n)\right).
Wartość stałej wynosi około 0,57721 56649. Występuje we wielu wzorach (na przykład: w transformacjach Laplace'a logarytmu naturalnego). Jeśli jest liczbą wymierną to jej mianownik musi mieć ponad 10242080 cyfr.

Analiza numeryczna[edytuj | edytuj kod]

Geometria[edytuj | edytuj kod]

  • (Rozwinięcie zadanie Erdősa) Czy można umieścić 8 punktów na płaszczyźnie, tak aby żadne 3 z nich nie leżały na jednej linii, żadne 4 nie leżały na jednym kręgu, a odległość między dwoma dowolnymi punktami była liczbą całkowitą? Paul Erdős postawił problem dla 5 punktów i został on błyskawicznie rozwiązany. Szybko znaleziono też rozwiązanie dla 6 punktów. Rozwiązanie dla 7 punktów zostało znalezione w 2007 roku[9][10].
  • (Problem przesunięcia sofy). Problem dotyczy znalezienia kształtu sofy o jak największym polu A, tak aby można było ją przesunąć w korytarzu o kształcie litery L szerokości 1[11]. Otrzymane pole "A" jest określane jako "stała sofy". Dokładna wartość stałej A nie jest znana. Matematyk Joseph L. Gerver znalazł sofę dającą obecnie najwyższą znaną wartość: 2,219531669...[12]. John Hammersley dowiódł, że stała sofy może wynieść najwyżej \scriptstyle 2\sqrt{2}\,\approx\, 2,8284[13][14].

Kombinatoryka[edytuj | edytuj kod]

  • Istnienie macierzy Hadamarda rzędu 4×k. Macierz Hadamarda jest macierzą kwadratową zawierającą tylko +1 i -1. Sylvester[15] podał sposób budowy macierzy Hadamarda rzędu 2n. Najmniejszą nieznaną macierzą Hadamarda rzędu 4×k jest rząd 668[16].
  • Nieznana jest liczba niezamkniętych tras skoczka szachowego[17].

Mechanika[edytuj | edytuj kod]

  • Jednorodne ciało twarde pływa w wodzie (siła wypychająca jest skierowana normalnie do powierzchni i jest wprost proporcjonalna do głębokości) i jest w równowadze w dowolnej orientacji. Czy możemy powiedzieć, że jest to kula?

Równania różniczkowe[edytuj | edytuj kod]

\ddot x - \lambda (1-x^2)\dot x + \omega ^ 2 x = 0

Teoria dowodu[edytuj | edytuj kod]

  • Jakie jest najkrótsze niedowodliwe zdania w arytmetyce Peano? Niedowodliwe zdania jest to takie zdanie, które nie da się udowodnić lub obalić w ramach teorii. Dowody twierdzeń Gödla pokazują, jak budować takie zdania, ale wyniki mają bardzo znaczne rozmiary ponieważ są napisane w języku formalnym arytmetyki[19].

Teoria grafów[edytuj | edytuj kod]

Teoria liczb[edytuj | edytuj kod]

Analityczna teoria liczb[edytuj | edytuj kod]

  • Problem dzielników Dirichleta: Wiadomo, że liczba punktów posiadających całkowite dodatnie współrzędne w obszarze ograniczonym przez hiperbolę x y=N i dodatnimi półosiami może być przedstawiona asymptotycznym wzorem:
    • \Phi(N) = \sum_{k=1}^N \tau(k) = N \ln N + (2\gamma-1)N+O(N^\theta),
gdzie \tau(k) — ilość dzielników liczby k, \gammaStała Eulera.
Nie wiadomo jednakże przy jakiej najmniejszej wartości \theta wzór ten pozostanie prawidłowym[21].
Dolną granicą \theta jest \frac{1}{4} (G.H. Hardy, 1916[22]). Górną granicą jest \frac{131}{416} ( M.N. Huxley, 2003[23]).

Hipotezy dotyczące liczb doskonałych[edytuj | edytuj kod]

  • Nie istnieje nieparzysta liczba doskonała[24]. Liczby naturalne, w których suma wszystkich swych dzielników właściwych jest równa samej liczbie. Parzyste to na przykład: 6 = 3 + 2 + 1 i (3, 2, 1) są dzielnikami właściwymi 6 oraz 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 i (14, 7 4 2 1) są dzielnikami właściwymi 28.

Hipotezy dotyczące liczb pierwszych[edytuj | edytuj kod]

  • Hipoteza Artina: Dla każdej liczby całkowitej a (różnej od -1 oraz nie będącej kwadratem innej liczby), istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które mają a jako pierwiastek pierwotny[26].
  • Hipoteza Brocarda: Dla każdej liczby całkowitej dodatniej n pomiędzy p_n^2 i p_{n+1}^2 (gdzie p_n – n-ta liczba pierwsza) istnieją co najmniej cztery liczby pierwsze[27].
  • Hipoteza Gilbreatha: Dla każdej dodatniej liczby całkowitej n ciąg bezwzględnych różnic między liczbami pierwszymi rzędu n zaczyna się od 1. Hipoteza jest sprawdzona (2011) dla wszystkich n < 3×1011[28][29].
  • Silna hipoteza Goldbacha: Każda liczba parzysta większa niż 2 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych[30].
  • Słaba hipoteza Goldbacha: Każdą liczbę nieparzystą większą niż 5 można przedstawić jako sumę trzech liczb pierwszych (udowodniona dla wszystkich wystarczająco dużych liczby nieparzystych)[31].
  • Hipoteza Legendre: Dla dowolnego n pomiędzy liczbami n² i (n + 1)² istnieje liczba pierwsza[32][33].
  • Hipoteza Polignac'a: Dla każdej parzystej liczby n istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych, różnica między którymi wynosi n[34].
  • Otwarte są pytania o nieskończone ilości liczb pierwszych w każdej z następujących sekwencji[35][36]:
Sekwencja Nazwa Uwagi
2^n-1 Liczby Mersena Największa (47) znana (od 2008 roku) to 2 43 112 609 - 1. Posiada 22 978 189 cyfr. Jest to największa aktualnie znana liczba pierwsza[36].
n^2+1 4-ty problem Landau Największą znaną liczbą tego typu jest 50 177[37].
n\cdot 2^n+1 Liczby Cullena W kwietniu 2005 Mark Rodenkirch odkrył największą znaną liczbę pierwszą Cullena dla n = 1 354 828[38].
2^{2^n}+1 Liczby Fermata Największa obecnie znana liczba pierwsza Fermata to F4 = 216 + 1 = 65 537.


F_n Liczby pierwsze ciągu Fibonacciego David Broadhurst i Bouk de Water w 2001 roku udowodnili, że największą obecnie znaną liczbą pierwszą ciągu Fibonacciego jest liczba F(81 839). Zawiera ona 17 103 cyfr. Aktualnie (od listopada 2011), przypuszcza się (Henri Lifchitz), że największą liczbą pierwszą ciągu Fibonacciego może być F(1 968 721)[39].
pary (n,\;n+2) Liczby pierwsze bliźniacze Największa znana (od 2009 roku) pierwsza z pary liczb bliźniaczych to 65 516 468 355 × 2 333 333 + 1. Liczba ta zawiera 100 355 cyfr[36].
pary (n,\;2n+1) Liczby pierwsze Sophie Germain Aktualnie (od marca 2010) największą znaną liczbą pierwszą Sophie Germain jest 183 027 × 2265 440 - 1. Liczba ta zawiera 79 911 cyfr[40].

Hipotezy dotyczące liczb zaprzyjaźnionych[edytuj | edytuj kod]

  • Nie istnieją dwie liczby zaprzyjaźnione względnie proste[41]. Liczby zaprzyjaźnione to takie pary liczb naturalnych, w których suma wszystkich dzielników właściwych każdej z liczb pary jest równa drugiej liczbie pary. Przykładem liczb zaprzyjaźnionych posiadających wspólne podzielniki jest para (220, 284): 220 =142 + 71 + 4 + 2 + 1 (dzielniki właściwe 284) i 284 = 110 + 55 + 44 + 22 + 20 + 11 + 11 + 10 + 5 + 4 + 2 + 1 (dzielniki właściwe 220).
  • Dowolna para liczb zaprzyjaźnionych ma tą samą parzystość[41]. Przykładem pary nieparzystych liczb zaprzyjaźnionych jest (12285, 14595).

Równanie diofantyczne[edytuj | edytuj kod]

Inne problemy[edytuj | edytuj kod]

  • Rozstrzygnięcie problemu Collatza (problem 3x+1, problem Ulama). Problem o wyjątkowo prostym sformułowaniu:
{c_{n+1}} =
\begin{cases}
  \frac{1}{2}c_n  & \mbox{gdy } c_n  \mbox{ jest parzysta}\\
  3c_n + 1           & \mbox{gdy } c_n \mbox{ jest nieparzysta}
\end{cases}
Hipoteza Collatza stwierdza, że niezależnie od jakiej liczby c0 wystartujemy, w końcu dojdziemy do liczby 1. (Przykład: c0=3. I dalej 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.) Wykazano prawdziwość hipotezy Collatza dla liczb c0 aż do 258[43].
  • Istnienie doskonałej cegiełki Eulera: Prostopadłościan, w którym wszystkie boki, przekątne ścian oraz przekątna prostopadłościanu są wyrażone liczbami całkowitymi[44].
  • Wartości liczb Ramseya: R(r,\;s) jest to najmniejsza liczba n, taka że dla dowolnego 2-pokolorowania krawędziowego n-wierzchołkowego grafu pełnego istnieje co najmniej jedna klika rozmiaru r w której wszystkie krawędzie mają pierwszy kolor lub co najmniej jedna klika rozmiaru s drugiego koloru. Obecnie (2009-08-04) znane są wartości liczb Ramseya tylko dla R(3,\;3..9) oraz R(4,\;4..5)[45][46].

Problemy rozwiązane niedawno[edytuj | edytuj kod]

Henri Poincaré
Grigorij Perelman
Johannes Kepler w 1610 r.
  • Twierdzenie o czterech barwach:
    • Dla każdego skończonego grafu planarnego \left(V, E\right) istnieje funkcja k:\,V\rightarrow\left\{ k_1,k_2,k_3,k_4\right\}, taka że \forall_{\{v_1,v_2\}\in E}\left(k(v_1)\neq k(v_2)\right) , czyli możliwe jest przypisanie każdemu z jego wierzchołków jednej z czterech liczb 1, 2, 3 i 4 w taki sposób, aby żadne sąsiednie wierzchołki nie miały przyporządkowanej tej samej liczby.
      W praktyce twierdzenie to określa, że każdą mapę "polityczną" można pokolorować wykorzystując 4 kolory.
    • (Appel i Haken, 1977);
Przykładowe pokolorowanie mapy czterema barwami
Pierre de Fermat
Andrew Wiles

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. В. Д. Мазуров, Е. И. Хухро: Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Wyd. Издание 17-е, дополненное, включающее Архив решенных задач. Новосибирск: Российская академия наук. Сибирское отделение. Институт математики, 2010. [dostęp 2011-04-19]. (ros.)
  2. Филиппов В.Т., Харченко В.К., Шестаков И.П.: Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей. Wyd. четвертое издание. 1993. [dostęp 2011-04-18]. (ros.)
  3. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
  4. Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1979. ISBN 83-01-00756-7.
  5. {Teoria Galois} [online. Wikipedia : wolna encyklopedia]. [dostęp 2011-04-15].
  6. {Grupa Galois} [online. Wikipedia : wolna encyklopedia]. [dostęp 2011-04-15].
  7. G.H. Hardy, J.E. Littlewood. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line. „Math. Zeits.”, s. 283–317, 1921. 
  8. Metody Rungego-Kutty. [dostęp 2012-09-06].
  9. Erich Friedman: Two Dozen Unsolved Problems in Plane Geometry (ang.). 2004-03-27. [dostęp 2011-04-20].
  10. Tobias Kreisel, Sascha Kurz: There are integral heptagons, no three points on a line, no four on a circle (ang.). W: Department of Mathematics, University of Bayreuth, D-95440 Bayreuth, Germany [on-line]. 7th November 2006. [dostęp 2011-04-20].
  11. Leo Moser. Moving furniture through a hallway. „SIAM”. 8, s. 381, 1966 (ang.). 
  12. Moving Sofa Constant by Steven Finch at MathSoft, zawiera diagramy sofy Gervera
  13. Neal R. Wagner. The Sofa Problem. „The American Mathematical Monthly”. 83 (3), s. 188–189, 1976. doi:10.2307/2977022 (ang.). 
  14. Ian Stewart: Another Fine Math You've Got Me Into.... Mineola, N.Y.: Dover Publications, January 2004. ISBN 0486431819. (ang.)
  15. J. J. Sylvester, Thoughts on Inverse Orthogonal Matrices, Simultaneous Sign-Successions, and Tesselated Pavements in Two or More Colours, with Applications to Newton's Rule, Ornamental Tile-Work, and the Theory of Numbers, London Edinburgh and Dublin, Philos. Mag. and J. Sci. 34, 461-475, (1867)
  16. Dragomir Ž Đoković. Hadamard matrices of order 764 exist. „Combinatorica”. 28 (4), s. 487–489, 2008. doi:10.1007/s00493-008-2384-z (ang.). 
  17. 2. Конь-хамелеон. W: Е. Гик: Шахматы и математика. Москва: 1983, s. 176. [dostęp 2011-04-23]. (ros.)
  18. Takashi Kanamaru: Van der Pol oscillator (ang.). Scholarpedia, 2007. [dostęp 2011-04-19].
  19. Richard Kaye: Models of Peano arithmetic. Oxford University Press, 1991. ISBN 0-19-853213-X.
  20. B. Bollobás, P. A. Catlin, Paul Erdős. Hadwiger's conjecture is true for almost every graph. „European Journal on Combinatorics”. 1, s. 195–199, 1980 (ang.). [dostęp 2011-04-25]. 
  21. Weisstein, Eric W.: Dirichlet Divisor Problem . (ang.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. [dostęp 2011-04-23].
  22. I: Classical Theory.. W: Montgomery, Hugh: Multiplicative Number Theory. Cambridge: C. Vaughan, 2007, seria: Cambridge University Press.. ISBN 9780521849036. (ang.)
  23. Huxley, M. N.. Exponential Sums and Lattice Points III.. „Proc. London Math. Soc.”, 2003. 5910-609 (ang.). 
  24. Greathouse, Charles, Weisstein, Eric W.: Odd Perfect Number. (ang.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. [dostęp 2011-04-15].
  25. Weisstein, Eric W.: Perfect Number. (ang.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. [dostęp 2011-04-15].
  26. Artin's conjecture on primitive roots (ang.). [dostęp 2011-04-12].
  27. Weisstein, Eric W.: Brocard's Conjecture. (ang.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. [dostęp 2011-04-25].
  28. Weisstein, Eric W.: Gilbreath's Conjecture (ang.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. [dostęp 2011-04-15].
  29. Chris K. Caldwell: Gilbreath's conjecture (ang.). 1992. [dostęp 2011-04-14].
  30. Christian Goldbach: Lettre XLIII (niem.). 1742-06-07. [dostęp 2011-04-12].  Cytat: Przedruk listu Goldbacha do Eulera z dnia 7 czerwca 1742, w którym po raz pierwszy formułuje on hipotezę.
  31. Deshouillers, Effinger, Te Riele, Zinoviev: A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis. Cz. 3. Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society: 1997, s. 99-104. [dostęp 2011-04-12]. (ang.)
  32. Legendre's Conjecture (ang.). [dostęp 2011-04-14].
  33. Ribenboim, P.: The New Book of Prime Number Records. Wyd. 3. New York: Springer-Verlag, 1996, s. 132-134 oraz 206-208. (ang.)
  34. Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
  35. Weisstein, Eric W.: Integer Sequence Primes (ang.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. [dostęp 2011-04-15].
  36. 36,0 36,1 36,2 The Largest Known Primes (ang.). [dostęp 2011-04-16].
  37. A002496. Primes of form n^2 + 1. (ang.). W: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences! [on-line]. [dostęp 2011-04-18].
  38. Weisstein, Eric W.: Cullen Number. (ang.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. [dostęp 2011-04-16].
  39. PRP Top Records (ang.). [dostęp 2011-04-16].
  40. Sophie Germain (ang.). [dostęp 2011-04-16].
  41. 41,0 41,1 Mariano García, Jan Munch Pedersen, Herman te Riele. Amicable Pairs, a Survey. , 05 2003. P.O. Box 94079, 1090 GB Amsterdam (NL): Copyright © 2003, Stichting Centrum voor Wiskunde en Informatica. ISSN 1386-3711 (ang.). [dostęp 2011-04-15]. 
  42. Weisstein, Eric W.: Erdős-Straus Conjecture (ang.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. [dostęp 2011-04-23].
  43. Weisstein, Eric W.: Collatz Problem. (ang.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. [dostęp 2011-04-24].
  44. Weisstein, Eric W.: Euler Brick (ang.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. [dostęp 2011-04-15].
  45. pod redakcją Marka Kubale: Optymalizacja dyskretna, modele i metody kolorowania grafów.. WNT, 2002.
  46. Stanisław P. Radziszowski: Small Ramsey Numbers (ang.). Department of Computer Science Rochester Institute of Technology, 1994-06-11, NY 14623 [dostęp 2011-04-12].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  1. Clay Mathematics Institute: Millennium Problems (ang.). [dostęp 2014-09-18].
  2. Tim S Roberts: Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography (ang.). [dostęp 2011-04-16].
  3. Weisstein, Eric W.: Unsolved Problems. (ang.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. [dostęp 2011-04-16].
  4. Open Problems In Mathematics And Physics: Open questions (ang.). 2009. [dostęp 2011-04-16].
  5. Michael Waldschmidt. Open Diophantine Problems. „Moscow Mathematical Journal”. 4 (1), s. 245-305, 2004 (ang.). [dostęp 2011-04-16]. 
  6. Open Problem Garden (ang.). [dostęp 2011-04-16].  Cytat: Zbiór otwartych problemów matematycznych tworzony przez użytkowników internetu
  7. MathPro Press: Unsolved Problem of the Week Archive (ang.). [dostęp 2011-04-16].
  8. The Largest Known Primes (ang.). [dostęp 2011-04-16].