Nieskończenie małe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nieskończenie małe (infinitezymalne) – określenie wielkości, która w danym przejściu granicznym dąży do zera.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech x0 oznacza liczbę rzeczywistą lub ±∞. Funkcję f(x) nazywamy nieskończenie małą przy x dążącym do x0 jeżeli jej granica przy x dążącym do x0 jest równa 0:

\lim_{x\to x_0} f(x) = 0

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Pojęcie "nieskończenie małej" jest tylko wygodnym i intuicyjnym sposobem wyrażania faktu, że granica funkcji jest równa 0.
  2. Jeżeli g(x) jest nieskończenie wielką, to 1/g(x) jest nieskończenie małą, lecz nie na odwrót.

Rząd nieskończenie małej[edytuj | edytuj kod]

Nieskończenie mała f(x) przy x dążącym do x0 ma rząd k jeżeli

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(x - x_0)^k} =  a \ne 0 gdy x_0 jest liczbą
\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot x^k =  a \ne 0 gdy x_0=\pm\infty

Nieskończenie małe równoważne[edytuj | edytuj kod]

Dwie nieskończenie małe f(x) i g(x) są równoważne jeżeli:

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} =  1.

Relacja "równoważności" nieskończenie małych jest rzeczywiście relacją równoważności – w szczególności, dwie nieskończenie małe równoważne trzeciej są też sobie równoważne.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • sin x jest nieskończenie małą w punkcie 0

Jest to nieskończenie mała rzędu 1, bo:

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

Równość ta oznacza jednocześnie, że nieskończenie małe sin x i x w punkcie 0 są równoważne.

  • cos x jest nieskończenie małą w punkcie π/2

Jest to znów nieskończenie mała rzędu 1, bo:

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}=-1

Zatem nieskończenie małe cos x i π/2 - x są w punkcie π/2 równoważne.

  • tg x jest nieskończenie małą w punkcie 0

Z równości:

\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{tg}\,x}{x}=1

wynika, że jest to nieskończenie mała rzędu 1. Jest ona równoważna nieskończenie małej sin x w punkcie 0.

  • x3 jest w punkcie 0 nieskończenie małą rzędu 3
  • 1 - cos x jest nieskończenie małą rzędu 2 w punkcie 0, bo:
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}
  • ex - 1 jest nieskończenie małą rzędu 1 w punkcie 0, bo:
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Nieskończenie małe równoważne można wzajemnie zastępować w danych przejściach granicznych. Przykład:

\lim_{x\to 0}\frac{x(e^x-1)}{\sin^2 x}=\lim_{x\to 0}\frac{x(e^x-1)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]