Zdarzenia losowe niezależne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Niezależność zdarzeń)
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zdarzenia losowe niezależne - zdarzenia A, B \in \mathcal{A} na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej (\Omega, \mathcal{A}, P) spełniające warunek

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).

Taka postać warunku na niezależność zdarzeń A i B wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie A nie zależy od zdarzenia B, jeśli wiedza nt. zajścia B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia A. Co można zapisać jako P(A|B)=P(A)\;. Z tej intuicji i wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń (P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)) wynika powyższy wzór.

Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli A_1, \ldots, A_m\in \mathcal{A}, to mówimy, że są one niezależne, gdy spełniony jest warunek

 P(A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_k})=P(A_{i_1}) \cdot ... \cdot P(A_{i_k}) dla każdego układu indeksów  i_1, \ldots, i_k oraz dla każdego  k = 1, 2, \ldots, m .

Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia A_1, A_2,\ldots są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia A_{i_1}, \ldots, A_{i_n} są niezależne.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
  • Gdy zdarzenia A_1, \ldots, A_n są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne  A_1^\prime, \ldots, A_n^\prime też są niezależne oraz:
P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)= P\left( \left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime \right)^\prime \right) = 1-P\left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime \right) = 1-\prod_{k=1}^n P(A_k^\prime) = 1-\prod_{k=1}^n(1-P(A_k)).

Por. prawa De Morgana.

Niezależność σ-ciał[edytuj | edytuj kod]

σ-ciała \mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_n, gdzie \mathcal{F}_i\subseteq \mathcal{A} dla i\in\{1,\ldots, n\} nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych A_1\in \mathcal{F}_1, \ldots, A_n\in \mathcal{F}_n

P(A_1\cap\ldots \cap A_n)=P(A_1)\cdot\ldots\cdot P(A_n).

Jeżeli A_1\in \mathcal{F}_1, \ldots, A_n\in \mathcal{F}_n, to przez \sigma(A_i) rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie A_i, tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór A_i. Dokładniej, dla i\in\{1,\ldots, n\}

\sigma(A_i)=\{\varnothing, \Omega, A_i, \Omega\setminus A_i\}.

Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia A_1, \ldots, A_n są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała \sigma(A_1), \ldots, \sigma(A_n) są niezależne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43-47.