Niezmiennik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Niezmiennik (inwariant) – cecha lub właściwość, która jest stała (nie zmienia się) w trakcie przekształceń, procesów przemiany, itp.

Bardziej formalnie, jeśli klasa obiektów \mathfrak{M} wyposażona jest w relację równoważności ρ, a \mathcal{N} jest dowolnym zbiorem, to niezmiennikiem (relacji równoważności ρ) nazywamy dowolną funkcję \phi: \mathfrak{M} \rightarrow \mathcal{N} stałą na klasach abstrakcji relacji ρ. Nieco ściślej możemy wtedy mówić o niezmienniku relacji równoważności ρ. Jeśli X \in \mathfrak{M}, to często się mówi, że \phi (X) jest niezmiennikiem obiektu X\;[1].

Problem istnienia niezmienników jest ściśle związany z problemami klasyfikacji obiektów matematycznych. Celem każdej klasyfikacji matematycznej jest bowiem skonstruowanie zupełnego układu niezmienników[1].

Termin „niezmiennik” został wprowadzony przez amerykańskiego matematyka Jamesa Josepha Sylvestra w roku 1851[1].

Przykłady niezmienników[edytuj | edytuj kod]

  • Niech \mathfrak{M} będzie zbiorem płaskich krzywych rzeczywistych drugiego stopnia, a relacja ρ niech będzie relacją zdefiniowaną następująco:
krzywa \Gamma \in \mathfrak{M} jest równoważna krzywej \Gamma' \in \mathfrak{M} wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest obrazem izometrycznym drugiej.
Jeśli krzywa \Gamma \in \mathfrak{M} jest w kartezjańskim układzie współrzędnych dana równaniem
Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
to liczby
\sigma (\Gamma) = A + C, \;\delta (\Gamma) =
\begin{vmatrix}
 A & B \\
 B & C
\end{vmatrix},
\;\Delta (\Gamma) =
\begin{vmatrix}
 A & B & D \\
 B & C & E \\
 D & E & F
\end{vmatrix}
nie zależą od wyboru układu współrzędnych, choć samo równanie linii zależy. Dwie krzywe są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy te trzy wielkości są dla nich takie same[1]. Każda z tych wielkości jest funkcją \mathfrak{M} \to \mathbb{R} stałą na klasach abstrakcji relacji równoważności ρ, a więc jest niezmiennikiem określonym na \mathfrak{M}.
  • Niech \mathfrak{M} będzie zbiorem uporządkowanych czwórek współliniowych punktów rzeczywistej przestrzeni rzutowej. Dwie czwórki są równoważne, jeśli jedna z nich jest obrazem drugiej przy przekształceniu rzutowym przestrzeni. Jak wiadomo, przekształcenie rzutowe nie zmienia dwustosunku czwórek uporządkowanych punktów współliniowych, czyli dwustosunek jest ich niezmiennikiem.
  • Według Kleina geometria afiniczna przestrzeni trójwymiarowej jest teorią niezmienników grupy przekształceń liniowych zawierającej: przesunięcia równoległe, obroty dokoła środka układu współrzędnych O, symetrie względem tego samego środka O, homotetie o środku O[2]. W oryginalnym tekście Klein nie używa co prawda nazwy geometria afiniczna, ale z wyszczególnienia przekształceń wynika, że o tę geometrię mu chodziło. Takimi cechami niezmienniczymi są na przykład: równoległość prostych, leżenie punktów na jednej prostej, leżenie punktów na jednej płaszczyźnie.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Ю. Прохоров (red.): Математический энциклопедический словарь. Москва: Советская энциклопедия, 1988, s. 226. (ros.)
  2. Feliks Klein: Elementarmathematik vom höheren standpunkte aus zwieiter band (tłum. ros.). Moskwa: Nauka, 1987, s. 201-202.