Niezmiennik j

Niezmiennik $j$, inaczej $j$-niezmiennik – pojęcie matematyczne wprowadzone przez Kleina, definiowalne na dwa sposoby - czysto algebraiczny, związany z krzywymi eliptycznymi oraz analityczny, jako specyficzna funkcja modularna.

Definicja analityczna

Niezmiennik $j$, zapisywany $j(\tau)$ definiuje się dla wartości zespolonych $\tau$ z górnej półpłaszczyzny zespolonej, tzn. takich, dla których $\Im \tau > 0$. Używając jako punktu wyjścia funkcji theta Jacobiego, $j$ można zdefiniować w następujący sposób:

$j(\tau) = 32 {[\vartheta(0;\tau)^8+\vartheta_{01}(0;\tau)^8+\vartheta_{10}(0;\tau)^8]^3 \over [\vartheta(0;\tau) \vartheta_{01}(0;\tau) \vartheta_{10}(0;\tau)]^8}$

gdzie $\vartheta$, $\vartheta_{01}$ i $\vartheta_{10}$ to, odpowiednio, funkcja theta Jacobiego oraz dwie funkcje pomocnicze theta. Inna możliwa definicja niezmiennika $j$ to:

$j(\tau) = {g_2^3 \over \Delta}$

gdzie $g_2$ to drugi niezmiennik modularny zdefiniowany w terminach szeregu Eisensteina (dokładnie, jako $60 G_2$, gdzie $G_2$ to drugi wyraz tego szeregu), zaś $\Delta$ to wyróżnik modularny.

Definicja algebraiczna

Niech

$E: y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6\;$

będzie krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem. Zdefiniujmy:

$b_2 = a_1^2+4a_2,\quad b_4=a_1a_3+2a_4,$

$b_6=a_3^2+4a_6,\quad b_8=a_1^2a_6-a_1a_3a_4+a_2a_3^2+4a_2a_6-a_4^2,$

$c_4 = b_2^2-24b_4,\quad c_6 = -b_2^3+36b_2b_4-216b_6$

oraz

$\Delta_E = -b_2^2b_8+9b_2b_4b_6-8b_4^3-27b_6^2;$

(wyróżnik krzywej). $j$-niezmiennik takiej krzywej definiujemy jako:

$j_E = {c_4^3 \over \Delta}.$

W szczególnym przypadku, gdy charakterystyka ciała bazowego jest różna od 2 i 3, definicję tę możemy uprościć do postaci:

$j_E = 1728{c_4^3\over c_4^3-c_6^2}.$

Własności

$j$, rozumiany jako funkcja zespolona, jest tzw. absolutnym niezmiennikiem modularnym, co oznacza, że spełnia zależności:

$j(\tau+1)=j(\tau),\; j\left(-\frac{1}{\tau}\right) = j(\tau).$