Niezmiennik j

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Niezmiennik j, inaczej j-niezmiennik – pojęcie matematyczne wprowadzone przez Kleina, definiowalne na dwa sposoby - czysto algebraiczny, związany z krzywymi eliptycznymi oraz analityczny, jako specyficzna funkcja modularna.

Definicja analityczna[edytuj | edytuj kod]

Niezmiennik j, zapisywany j(\tau) definiuje się dla wartości zespolonych \tau z górnej półpłaszczyzny zespolonej, tzn. takich, dla których \Im \tau > 0. Używając jako punktu wyjścia funkcji theta Jacobiego, j można zdefiniować w następujący sposób:

j(\tau) = 32 {[\vartheta(0;\tau)^8+\vartheta_{01}(0;\tau)^8+\vartheta_{10}(0;\tau)^8]^3 \over [\vartheta(0;\tau) \vartheta_{01}(0;\tau) \vartheta_{10}(0;\tau)]^8}

gdzie \vartheta, \vartheta_{01} i \vartheta_{10} to, odpowiednio, funkcja theta Jacobiego oraz dwie funkcje pomocnicze theta. Inna możliwa definicja niezmiennika j to:

j(\tau) = {g_2^3 \over \Delta}

gdzie g_2 to drugi niezmiennik modularny zdefiniowany w terminach szeregu Eisensteina (dokładnie, jako 60 G_2, gdzie G_2 to drugi wyraz tego szeregu), zaś \Delta to wyróżnik modularny.

Definicja algebraiczna[edytuj | edytuj kod]

Niech

E: y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6\;

będzie krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem. Zdefiniujmy:

b_2 = a_1^2+4a_2,\quad b_4=a_1a_3+2a_4,
b_6=a_3^2+4a_6,\quad b_8=a_1^2a_6-a_1a_3a_4+a_2a_3^2+4a_2a_6-a_4^2,
c_4 = b_2^2-24b_4,\quad c_6 = -b_2^3+36b_2b_4-216b_6

oraz

\Delta_E = -b_2^2b_8+9b_2b_4b_6-8b_4^3-27b_6^2;

(wyróżnik krzywej). j-niezmiennik takiej krzywej definiujemy jako:

j_E = {c_4^3 \over \Delta}.

W szczególnym przypadku, gdy charakterystyka ciała bazowego jest różna od 2 i 3, definicję tę możemy uprościć do postaci:

j_E = 1728{c_4^3\over c_4^3-c_6^2}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

j, rozumiany jako funkcja zespolona, jest tzw. absolutnym niezmiennikiem modularnym, co oznacza, że spełnia zależności:

j(\tau+1)=j(\tau),\; j\left(-\frac{1}{\tau}\right) = j(\tau).