Nilradykał

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Nilradykał – w teorii pierścieni, dla danego pierścienia przemiennego A, zbiór wszystkich jego elementów nilpotentnych[1].

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Nilradykał jest ideałem, bo jeśli a, x, y są takimi elementami pierścienia A, że xn = 0 i ym = 0, to
(x + y)m + n - 1 = 0 i (ax)n = 0.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W pierścieniu wielomianów zmiennych X1, ..., Xn o współczynnikach z pewnego pierścienia A nilradykał jest zbiorem tych wielomianów, których wszystkie współczynniki są elementami nilpotentnymi w A. W szczególności, twierdzenie to jest prawdziwe dla pierścienia wielomianów jednej zmiennej A[X].
  • W pierścieniu Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} reszt modulo 8 jedynym ideałem pierwszym jest {0, 2, 4, 6}. Jednocześnie jest on nilradykałem, bo w Z8 mamy 23 = 0, 42 = 0 i 63 = 0.
  • W pierścieniu Z36 są dwa ideały pierwsze - ideały główne generowane przez reszty 2 i 3. Ich częścią wspólną jest ideał główny (6) = {0, 6, 12, 18, 24}, który jest jednocześnie nilradykałem. Z drugiej strony, ideał (6) nie jest ideałem pierwszym, bo nie należy do niego ani 2, ani 3, a ich iloczyn jest równy reszcie 6, która należy do (6).
  • W pierścieniu Z180 ideałami pierwszymi są ideały główne (2), (3) i (5), a nilradykałem jest (30).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. N. Bourbaki: Algebra przemienna (tłum. ros.). Wyd. 1. Mir, 1971.
  2. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Wstęp do algebry przemiennej (tłum. ros.). Wyd. 1. Mir, 1972.
  3. S. Balcerzyk, T. Józefiak: Pierścienie przemienne. Wyd. 1. PWN, 1985. ISBN 83-01-04874-3.


Przypisy

  1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 14.
  2. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 14, 15.