Norma macierzowa

Norma macierzowa – naturalne rozszerzenie normy wektorowej na macierze.

Definicje

Niech $\mathrm{Mat}_n(K)$ oznacza przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia $n$ nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Normą macierzową nazywa się normę określoną na $\mathrm{Mat}_n(K)$ spełniającą dodatkowo warunek podmultiplikatywności,

$\|\mathbf{AB}\| \leqslant \|\mathbf A\| \|\mathbf B\|,$

dla dowolnych macierzy $\mathbf A, \mathbf B \in \mathrm{Mat}_n(K).$ Przestrzeń macierzy z normą macierzową jest algebrą Banacha. Niekiedy wyrażenie norma macierzowa oznacza dowolne normy macierzy, a nie tylko spełniające powyższy warunek. W szczególności normą macierzową jest wartość bezwzględna albo moduł macierzy (spełnia ona aksjomaty normy i podmultiplikatywności) dane wzorem

$|\mathbf A| = \bigl[|a_{ij}|\bigr]$

gdzie $|a_{ij}|$ oznacza wzięcie wartości bezwzględnych (modułów) elementów macierzy.

Niekiedy pierwszy aksjomat normy macierzowej podaje się w formie

$\|\mathbf A\| \geqslant 0$ oraz $|\mathbf A| = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathbf A = \boldsymbol \Theta.$

Normę nazywa się kanoniczną, jeżeli spełnia ona dodatkowo warunki

• $|a_{ij}| \leqslant \|\mathbf A\|,$ przy czym dla $\mathbf A = [a_{11}]$ jest $\|\mathbf A\| = |a_{11}|,$
• $|\mathbf A| \leqslant |\mathbf B|$ pociąga $\|\mathbf A\| \leqslant \|\mathbf B\|,$ w szczególności $\|\mathbf A\| = \bigl\| |\mathbf A| \bigr\|.$

Normy indukowane

Jeżeli dane są normy $\|\cdot\|_m, \|\cdot\|_n$ odpowiednio na przestrzeniach współrzędnych $K^m$ oraz $K^n,$ gdzie $K \in \{\mathbb R, \mathbb C\},$ to normę indukowaną lub normę operatorową na przestrzeni macierzy typu $n \times m$ definiuje się jednym z równoważnych wzorów

$\begin{align} \|\mathbf A\| &= \max_{\|\mathbf x\|_n \leqslant 1}\bigl\{\|\mathbf {Ax}\|_m\colon \mathbf x \in K^n\bigr\} \\ &= \max_{\|\mathbf x\|_n = 1}\bigl\{\|\mathbf{Ax}\|_m\colon \mathbf x \in K^n\bigr\} \\ &= \max_{\mathbf x \ne \mathbf 0}\left\{\tfrac{\|\mathbf{Ax}\|_m}{\|\mathbf x\|_n}\colon \mathbf x \in K^n\right\}\end{align}.$

Jeżeli $m = n$ i w dziedzinie oraz przeciwdziedzinie występuje ta sama norma, to indukowana norma operatorowa jest normą macierzową (tzn. jest podmultiplikatywna).

Przykłady

Przykładowo norma operatorowa odpowiadająca $p$-normie wektorowej to

$\|\mathbf A\|_p = \max_{\mathbf x \ne \mathbf 0} \tfrac{\|\mathbf{Ax}\|_p}{\|\mathbf x\|_p}.$

W szczególności normy

$\|\mathbf A\|_1 = \max_j \sum_i |a_{ij}|,$

$\|\mathbf A\|_{\infty} = \max_i \sum_j |a_{ij}|$

są uogólnieniem pierwszej normy wektorowej oraz normy „nieskończoność”.

Norma spektralna i promień spektralny

Normę

$\|\mathbf A\|_\operatorname{sp} = \sqrt{\max\bigl\{\lambda\colon \lambda \in \operatorname{sp}(\mathbf A^\star \mathbf A)\bigr\}},$

gdzie $\operatorname{sp}(\mathbf A)$ jest widmem (spektrum) macierzy $\mathbf A,$ nazywa się normą spektralną.

Dla dowolnej normy indukowanej $\|\cdot\|$ zachodzi oszacowanie

$\|\mathbf A\| \geqslant \varrho(\mathbf A),$

gdzie $\varrho(\mathbf A)$ jest promieniem spektralnym $\mathbf A;$ co więcej,

$\lim_{r \to \infty}~\sqrt[r]{\|\mathbf A^r\|} = \varrho(\mathbf A).$

Normy „po współrzędnych”

W normach tego rodzaju macierze traktowane są jako wektory typu $m \times n$ do których zastosowano jedne z dobrze znanych norm wektorowych.

Przykładowo korzystając z $p$-normy wektorowej dostaje się

$\|\mathbf A\|_p = \left(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^p\right)^{1/p}.$

Choć normy te mają to samo oznaczenie, różnią się od wyżej zdefiniowanych $p$-norm indukowanych (zob. wyżej) oraz $p$-norm Schattena (zob. niżej).

Szczególnymi przypadkami dla $p = 2$ jest norma Frobeniusa, a dla $p = \infty$ norma maksimum.

Norma Frobeniusa

Bezpośrednie uogólnienie normy euklidesowej. Norma Frobeniusa lub norma Hilberta-Schmidta (drugi termin odnosi się zwykle do operatorów określonych na przestrzeniach Hilberta) definiowana jest wg wzoru

$\|\mathbf A\|_F = \sqrt{\langle \mathbf A, \mathbf A\rangle} = \sqrt{\operatorname{tr}(\mathbf A^\star \mathbf A)} = \sqrt{\sum |a_{ij}|^2},$

gdzie $\operatorname{tr}(\mathbf A)$ jest śladem macierzy $\mathbf A,$ a sumowanie przebiega po wszystkich kombinacjach $i, j,$ a $\mathbf A^\star = {\overline {\mathbf A}}^\operatorname T$ oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy (transpozycję jej trywialnego sprzężenia).

Nazwa pochodzi od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka niemieckiego. Norma ta jest bezpośrednim uogólnieniem normy euklidesowej wektorów, czyli macierzy jednokolumnowych.

Norma maksimum

Norma maksimum to norma brana „po współrzędnych” dla $p = \infty:$

$\|\mathbf A\|_{\text{max}} = \max \bigl\{|a_{ij}|\bigr\}.$

Norma ta nie jest podmultiplikatywna.

Zobacz też

• iloczyn Frobeniusa