Norma operatorowa

Norma operatorowa – norma w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych między dwiema ustalonymi przestrzeniami unormowanymi. Jeżeli X i Y są przestrzeniami unormowanymi to wzór

$\begin{align} \|T\| &= \inf\{c>0 : \|Tx\| \le c\|x\| \mbox{ dla każdego } x\in X\} \end{align}$

określa normę w przestrzeni $\mathcal{B}(X,Y)$ operatorów liniowych i ciągłych określonych na X i wartościach w Y.

Zachodzą ponadto następujące równości

$\begin{align} \|T\| &= \sup\{\|Tx\| : x\in X,\;\|x\| \le 1\} \\ &= \sup\{\|Tx\| : x\in X,\;\|x\| = 1\} \\ &= \sup\left\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|} : x\in X,\; x\ne 0\right\} \end{align}$

przy czym ostatnie dwie mają sens w przypadku, gdy X ma co najmniej jeden wymiar.

Przestrzeń $\mathcal{B}(X,Y)$ jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy $Y$ jest przestrzenią Banacha.

Bibliografia

1. John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0387972455.