Norma operatorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Norma operatorowanorma w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych między dwiema ustalonymi przestrzeniami unormowanymi. Jeżeli X i Y są przestrzeniami unormowanymi to wzór

 \begin{align}
\|T\| &= \inf\{c>0 : \|Tx\| \le c\|x\| \mbox{ dla każdego } x\in X\} 
\end{align}

określa normę w przestrzeni \mathcal{B}(X,Y) operatorów liniowych i ciągłych określonych na X i wartościach w Y.

Zachodzą ponadto następujące równości

 \begin{align}
\|T\| &= \sup\{\|Tx\| : x\in X,\;\|x\| \le 1\} \\
&= \sup\{\|Tx\| : x\in X,\;\|x\| = 1\} \\
&= \sup\left\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|} : x\in X,\; x\ne 0\right\}
\end{align}

przy czym ostatnie dwie mają sens w przypadku, gdy X ma co najmniej jeden wymiar.

Przestrzeń \mathcal{B}(X,Y) jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy Y jest przestrzenią Banacha.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0387972455.