Notacja wielowskaźnikowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Notacja wielowskaźnikowanotacja matematyczna upraszczająca wzory analizy wielu zmiennych, równań różniczkowych cząstkowych oraz teorii dystrybucji przez uogólnienie pojęcia wskaźnika (indeksu) całkowitego do wektora wskaźników.

Notacja wielowskaźnikowa[edytuj | edytuj kod]

Wielowskaźnik n-wymiarowy to wektor

\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)

nieujemnych liczb całkowitych. Dla wielowskaźników \alpha, \beta \in \mathbb N^n_0 oraz x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb R^n określa się:

Niektóre zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Notacja wielowskaźnikowa umożliwia rozszerzenie wielu wzorów analizy elementarnej do odpowiadających im przypadków w analizie wielu zmiennych. Oto niektóre przykłady:

Twierdzenie o wielomianie[edytuj | edytuj kod]

\left(\sum_{i=1}^n~x_i\right)^k = \sum_{|\alpha|=k}~\frac{k!}{\alpha!} \, x^\alpha

Wzór Leibniza[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji gładkich f i g

\partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \leqslant \alpha} {\alpha \choose \nu} \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g.

Szereg Taylora[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji analitycznej f o n zmiennych jest

f(x+h) = \sum_{\alpha \in \mathbb N^n_0}{\frac{\partial^\alpha f(x)}{\alpha !}h^\alpha}.

Rzeczywiście, dla wystarczająco gładkiej funkcji istnieje podobne rozwinięcie Taylora

f(x+h) = \sum_{|\alpha| \leqslant n}~{\frac{\partial^\alpha f(x)}{\alpha !}h^\alpha} + R_n(x, h),

gdzie ostatni wyraz (reszta) zależy od konkretnej wersji wzoru Taylora. Na przykład dla wzoru Cauchy'ego (z resztą całkową) otrzymuje się

R_n(x,h)= (n+1) \sum_{|\alpha| = n+1}~\frac{h^\alpha}{\alpha !}\int\limits_0^1~{(1-t)^n\partial^\alpha f(x+th)\,dt}.

Operator różniczki cząstkowej ogólnej postaci[edytuj | edytuj kod]

Operator różniczki cząstkowej n-tego rzędu n zmiennych zapisuje się formalnie jako

P(\partial) = \sum_{|\alpha| \leqslant N}~{a_\alpha(x)\partial^\alpha}.

Całkowanie przez części[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie \Omega \subset \mathbb R^n jest

\int\limits_\Omega~{u(\partial^{\alpha}v)}\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega~{(\partial^{\alpha}u)v\,dx}.

Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych.

Przykładowe twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \alpha, \beta \in \mathbb N^n_0 są wielowskaźnikami, a x=(x_1, \ldots, x_n), to

\part^\alpha x^\beta = 
\begin{cases} 
\frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha}, & \hbox{gdy}\,\, \alpha \leqslant \beta,\\ 
 0 & \hbox{w p.p.} \end{cases}

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej; jeżeli \alpha, \beta \in \{0, 1, 2, \ldots\}, wtedy

 \frac{d^\alpha}{dx^\alpha} x^\beta = \begin{cases} \frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha}, & \hbox{gdy}\,\, \alpha\leqslant \beta, \\ 0 & \hbox{w p.p.} \end{cases}\qquad(1)

Załóżmy, że \alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n), \beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n), x=(x_1,\ldots, x_n). Wtedy

\begin{align}\part^\alpha x^\beta&= \frac{\part^{|\alpha|}}{\part x_1^{\alpha_1} \cdots \part x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n} \\
&= \frac{\part^{\alpha_1}}{\part x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots
\frac{\part^{\alpha_n}}{\part x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align}

Dla każdego i \in \{1, \ldots, n\}, funkcja x_i^{\beta_i} zależy wyłącznie od x_i. Dlatego w powyższym wzorze każde różniczkowanie cząstkowe \tfrac{\part}{\part x_i} redukuje się do odpowiedniego różniczkowania zwykłego \tfrac{d}{dx_i}. Stąd z równania (1) wynika, że \part^\alpha x^\beta znika, jeśli \alpha_i > \beta_i dla przynajmniej jednego i \in \{1, \ldots, n\}. W przeciwnym wypadku, tzn. gdy \alpha \leqslant \beta jako wielowskaźniki, wtedy

\frac{d^{\alpha_i}}{dx_i^{\alpha_i}} x_i^{\beta_i} = \frac{\beta_i!}{(\beta_i-\alpha_i)!} x_i^{\beta_i-\alpha_i}

dla każdego i, skąd wynika twierdzenie. \Box

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Rozdział 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9