Notacja wielowskaźnikowa

Notacja wielowskaźnikowa – notacja matematyczna upraszczająca wzory analizy wielu zmiennych, równań różniczkowych cząstkowych oraz teorii dystrybucji przez uogólnienie pojęcia wskaźnika (indeksu) całkowitego do wektora wskaźników.

Spis treści

1 Notacja wielowskaźnikowa
2 Niektóre zastosowania
3 Przykładowe twierdzenie
- 3.1 Dowód
4 Bibliografia

Notacja wielowskaźnikowa [edytuj]

Wielowskaźnik $n$ -wymiarowy to wektor

$\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$

nieujemnych liczb całkowitych. Dla wielowskaźników $\alpha, \beta \in \mathbb N^n_0$ oraz $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb R^n$ określa się:

sumę i różnicę po współrzędnych

$\alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)$
porządek częściowy

$\alpha \leqslant \beta \iff \alpha_i \leqslant \beta_i \quad \forall_{i \in \{1, \ldots, n\}}$
sumę współrzędnych (wartość bezwzględną)

$|\alpha| = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$
silnię

$\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!$
symbol Newtona

${\alpha \choose \beta} = {\alpha_1 \choose \beta_1}{\alpha_2 \choose \beta_2}\cdots{\alpha_n \choose \beta_n}$
potęgę

$x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n}$
pochodną cząstkową wyższych rzędów

$\partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_n^{\alpha_n}$ , gdzie $\partial_i^{\alpha_i} := \tfrac{\part^{\alpha_i}}{\part x_i^{\alpha_i}}$

Niektóre zastosowania [edytuj]

Notacja wielowskaźnikowa umożliwia rozszerzenie wielu wzorów analizy elementarnej do odpowiadających im przypadków w analizie wielu zmiennych. Oto niektóre przykłady:

Twierdzenie o wielomianie [edytuj]

$\left(\sum_{i=1}^n~x_i\right)^k = \sum_{|\alpha|=k}~\frac{k!}{\alpha!} \, x^\alpha$

Wzór Leibniza [edytuj]

Dla funkcji gładkich $f$ i $g$

$\partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \leqslant \alpha} {\alpha \choose \nu} \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g$ .

Szereg Taylora [edytuj]

Dla funkcji analitycznej $f$ o $n$ zmiennych jest

$f(x+h) = \sum_{\alpha \in \mathbb N^n_0}{\frac{\partial^\alpha f(x)}{\alpha !}h^\alpha}$ .

Rzeczywiście, dla wystarczająco gładkiej funkcji istnieje podobne rozwinięcie Taylora

$f(x+h) = \sum_{|\alpha| \leqslant n}~{\frac{\partial^\alpha f(x)}{\alpha !}h^\alpha} + R_n(x, h)$ ,

gdzie ostatni wyraz (reszta) zależy od konkretnej wersji wzoru Taylora. Na przykład dla wzoru Cauchy'ego (z resztą całkową) otrzymuje się

$R_n(x,h)= (n+1) \sum_{|\alpha| = n+1}~\frac{h^\alpha}{\alpha !}\int\limits_0^1~{(1-t)^n\partial^\alpha f(x+th)\,dt}$ .

Operator różniczki cząstkowej ogólnej postaci [edytuj]

Operator różniczki cząstkowej $n$ -tego rzędu $n$ zmiennych zapisuje się formalnie jako

$P(\partial) = \sum_{|\alpha| \leqslant N}~{a_\alpha(x)\partial^\alpha}$ .

Całkowanie przez części [edytuj]

Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie $\Omega \subset \mathbb R^n$ jest

$\int\limits_\Omega~{u(\partial^{\alpha}v)}\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega~{(\partial^{\alpha}u)v\,dx}$ .

Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych.

Przykładowe twierdzenie [edytuj]

Jeżeli $\alpha, \beta \in \mathbb N^n_0$ są wielowskaźnikami, a $x=(x_1, \ldots, x_n)$ , to

$\part^\alpha x^\beta = \begin{cases} \frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha}, & \hbox{gdy}\,\, \alpha \leqslant \beta,\\ 0 & \hbox{w p.p.} \end{cases}$

Dowód [edytuj]

Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej; jeżeli $\alpha, \beta \in \{0, 1, 2, \ldots\}$ , wtedy

$\frac{d^\alpha}{dx^\alpha} x^\beta = \begin{cases} \frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha}, & \hbox{gdy}\,\, \alpha\leqslant \beta, \\ 0 & \hbox{w p.p.} \end{cases}\qquad(1)$

Załóżmy, że $\alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)$ , $\beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n)$ , $x=(x_1,\ldots, x_n)$ . Wtedy

$\begin{align}\part^\alpha x^\beta&= \frac{\part^{|\alpha|}}{\part x_1^{\alpha_1} \cdots \part x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n} \\ &= \frac{\part^{\alpha_1}}{\part x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots \frac{\part^{\alpha_n}}{\part x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align}$

Dla każdego $i \in \{1, \ldots, n\}$ , funkcja $x_i^{\beta_i}$ zależy wyłącznie od $x_i$ . Dlatego w powyższym wzorze każde różniczkowanie cząstkowe $\tfrac{\part}{\part x_i}$ redukuje się do odpowiedniego różniczkowania zwykłego $\tfrac{d}{dx_i}$ . Stąd z równania (1) wynika, że $\part^\alpha x^\beta$ znika, jeśli $\alpha_i > \beta_i$ dla przynajmniej jednego $i \in \{1, \ldots, n\}$ . W przeciwnym wypadku, tzn. gdy $\alpha \leqslant \beta$ jako wielowskaźniki, wtedy