Obiekty początkowy i końcowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Obiekt początkowy (końcowy) – dla ustalonej kategorii \mathfrak{K} obiekt \mathit{E}\; o tej własności, że dla każdego obiektu \mathit{A}\; tej kategorii istnieje dokładnie jeden morfizm h: \mathit{E} \rightarrow \mathit{A} (odpowiednio h: \mathit{A} \rightarrow \mathit{E}). Obiekty początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do (jedynego) izomorfizmu. Obiekt, który jest jednocześnie początkowy i końcowy, nazywany jest obiektem zerowym kategorii \mathfrak{K}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Zbiór pusty jest obiektem początkowym w kategorii wszystkich zbiorów. Każdy zbiór jednoelementowy jest obiektem końcowym tej kategorii.
  • W kategorii wszystkich grup obiektem początkowym, a zarazem końcowym (a więc zerowym), jest grupa jednoelementowa.
  • W kategorii punktowanych przestrzeni topologicznych (tj. przestrzeni z wyróżnionym punktem, w której od morfizmów wymagamy, by przeprowadzały wyróżnione punkty na wyróżnione punkty), obiektem zerowym jest przestrzeń jednopunktowa.
  • W kategorii wszystkich pierścieni z jedynką obiektem początkowym jest pierścień liczb całkowitych, obiektem końcowym natomiast pierścień zerowy.
  • Każdy zbiór częściowo uporządkowany (\mathit{P}, \preceq ) może być rozpatrywany jako kategoria, której obiektami są elementy zbioru \mathit{P}\;. Powiemy, że istnieje morfizm między elementami x, y \in \mathit{P} wtedy i tylko wtedy, gdy x \preceq y. Kategoria ta ma obiekt początkowy (końcowy) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze \mathit{P}\; istnieje element najmniejszy (odpowiednio największy).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987, s. 66.