Obrót

Obrót dookoła punktu $P$ o kąt skierowany $\alpha$ jest to odwzorowanie geometryczne $O_P^\alpha$ płaszczyzny na siebie, takie, że:
1. jeśli $P = Q\,$, to $O_P^\alpha(Q)=P$
2. jeśli $P \neq Q$, to $O_P^\alpha(Q)=Q'$, gdzie $PQ' = PQ\,$ oraz kąty skierowane $\angle QPQ' \mbox{ i } \alpha$ są przystające.
Punkt $P$ nazywa się środkiem obrotu, a kąt $\alpha$ kątem obrotu $O_P^\alpha$.

Jeżeli $\alpha$ jest kątem zerowym lub kątem pełnym, to niezależnie od punktu $P$, obrót $O_P^\alpha$ jest odwzorowaniem tożsamościowym, które nazywane jest obrotem zerowym.

Obrót płaszczyzny o kąt skierowany półpełny jest symetrią środkową.

Każdy obrót płaszczyzny można przedstawić jako złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach przechodzących przez środek obrotu i tworzących kąt o mierze równej połowie miary kąta obrotu. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne: złożenie dwóch symetrii osiowych $S_{l_2} \circ S_{l_1}$ o osiach $l_1$ i $l_2$ przecinających się w punkcie $P$ jest obrotem dookoła punktu $P$ o kąt skierowany dwukrotnie większy od kąta utworzonego przez proste $l_1$ i $l_2$.

Obrót $O_P^\alpha$ jest izometrią parzystą płaszczyzny, mającą przynajmniej jeden punkt stały.
Okręgi i koła o środku w punkcie $P\,$ są figurami stałymi obrotu $O_P^\alpha$.

Obrót wokół początku układu współrzędnych na płaszczyźnie o kąt $\beta\,$ punktu $P=(x,y)\,$ można opisać wzorem analitycznym $O_{(0,0)}^\beta(P)=(x^\prime, y^\prime)$, gdzie

$\left\{\begin{array}{l}x^\prime=x\cdot \cos\beta -y\cdot\sin\beta\\ y^\prime=x\cdot \sin\beta+y\cdot \cos\beta\end{array}\right.$.

Obrót na płaszczyźnie zespolonej punktu $z=x+iy\,$ wokół początku układu współrzędnych o kąt $\phi\,$ można wyrazić wzorem $O_0^\phi(z)=z(\cos\phi+i\sin\phi)$.

Zobacz też

• grupa obrotów
• specjalna grupa ortogonalna
• twierdzenie Cartana-Dieudonné