Obrót

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia słowa "obrót".

Obrót dookoła punktu P o kąt skierowany \alpha jest to odwzorowanie geometryczne O_P^\alpha płaszczyzny na siebie, takie, że:
1. jeśli P = Q\,, to O_P^\alpha(Q)=P
2. jeśli P \neq Q, to O_P^\alpha(Q)=Q', gdzie PQ' = PQ\, oraz kąty skierowane \angle QPQ' \mbox{ i } \alpha są przystające.
Punkt P nazywa się środkiem obrotu, a kąt \alpha kątem obrotu O_P^\alpha.

Jeżeli \alpha jest kątem zerowym lub kątem pełnym, to niezależnie od punktu P, obrót O_P^\alpha jest odwzorowaniem tożsamościowym, które nazywane jest obrotem zerowym.

Obrót płaszczyzny o kąt skierowany półpełny jest symetrią środkową.

Każdy obrót płaszczyzny można przedstawić jako złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach przechodzących przez środek obrotu i tworzących kąt o mierze równej połowie miary kąta obrotu. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne: złożenie dwóch symetrii osiowych S_{l_2} \circ S_{l_1} o osiach l_1 i l_2 przecinających się w punkcie P jest obrotem dookoła punktu P o kąt skierowany dwukrotnie większy od kąta utworzonego przez proste l_1 i l_2.

Obrót O_P^\alpha jest izometrią parzystą płaszczyzny, mającą przynajmniej jeden punkt stały.
Okręgi i koła o środku w punkcie P\, są figurami stałymi obrotu O_P^\alpha.

Obrót wokół początku układu współrzędnych na płaszczyźnie o kąt \beta\, punktu P=(x,y)\, można opisać wzorem analitycznym O_{(0,0)}^\beta(P)=(x^\prime, y^\prime), gdzie

\left\{\begin{array}{l}x^\prime=x\cdot \cos\beta -y\cdot\sin\beta\\ y^\prime=x\cdot \sin\beta+y\cdot \cos\beta\end{array}\right..

Obrót na płaszczyźnie zespolonej punktu z=x+iy\, wokół początku układu współrzędnych o kąt \phi\, można wyrazić wzorem O_0^\phi(z)=z(\cos\phi+i\sin\phi).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]