Obszar

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Obszar – w topologii zbiór otwarty i spójny.[1]

Domknięcie \overline \mathfrak{O} obszaru \mathfrak{O} nazywane jest obszarem domkniętym. Zbiór domknięty Fr \mathfrak{O} = \overline \mathfrak{O} \setminus \mathfrak{O} nazywa się brzegiem obszaru \mathfrak{O}. Punkty X \in \mathfrak{O} nazywane są punktami wewnętrznymi obszaru \mathfrak{O}, a punkty X \in Fr \mathfrak{O} nazywane są punktami brzegowymi obszaru  \mathfrak{O}[2].

Od lewej: obszar jednospójny, obszar trzyspójny, obszar czterospójny

Obszar \mathfrak{O} \subset \mathbb{C} nazywa się obszarem jednospójnym, jeśli każdą zawartą w nim pętlę można w sposób ciągły zdeformować do punktu, pozostając cały czas w obszarze (pętla jest w \mathfrak{O} ściągalna do punktu)[3]. Brzeg takiego obszaru ma wtedy jedną składową spójności. Brzeg obszaru może mieć k składowych, gdzie 0 \leqslant k \leqslant \infty. Jeśli k > 1\;, to obszar nazywa się obszarem wielospójnym. Liczba k jest nazywana rzędem spójności. Jeśli k = 2, obszar jest nazywany obszarem dwuspójnym, jeśli k = 3 - obszarem trzyspójnym itd. Jeśli k < \infty, to obszar nazywamy obszarem skończeniespójnym, a jeśli k = \infty - obszarem nieskończeniespójnym[4].

Pojęcie to ma podstawowe znaczenie w analizie zespolonej. Przykładami obszarów na płaszczyźnie zespolonej są: cała płaszczyzna, wnętrze kąta, koło otwarte (bez brzegu), prostokąt otwarty (bez brzegu). W szczególności obszarem jest też każdy zbiór otwarty, którego brzeg można opisać krzywą Jordana.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykład obszaru, którego brzeg zawiera punkty niedostępne.
  • Na prostej \mathbb{R} = \mathbb{R}^1 obszarami są przedziały liczbowe. Brzeg takiego obszaru jest zawsze zbiorem co najwyżej dwupunktowym[5].
  • Obszar nieskończeniespójny można uzyskać, usuwając z koła otwartego o promieniu 2 rozłączne koła domknięte o promieniach 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{4^2}, \ldots , \frac{1}{4^n}, \ldots. Brzeg tego obszaru jest sumą mnogościową okręgu koła o promieniu 2 i okręgów ograniczających usunięte koła.
  • Obszar jednospójny  \mathfrak{O} może mieć dość skomplikowany brzeg, zawierający punkty niedostępne w następującym sensie: nie istnieje krzywa ciągła f: \langle a; b \rangle \rightarrow \overline\mathfrak{O},gdzie \langle a; b \rangle jest przedziałem domkniętym na osi rzeczywistej, taka że obrazy wszystkich punktów przedziału, poza punktem X = f(b) (należącym do brzegu \mathfrak{O}), należą do obszaru \mathfrak{O}. Takimi punktami będą na przykład punkty lewego boku kwadratu na rysunku obok, z którego usunięto odcinki wychodzące prostopadle naprzemiennie z dolnego i górnego boku tego kwadratu, zbliżające się do lewego boku i o długościach dążących do długości boku kwadratu[6]
  • Każde dwa punkty obszaru położonego w płaszczyźnie zespolonej dają się połączyć łamaną.
Niech będzie obszarem. Dla każdego X \in \mathfrak{O} niech \mathfrak{F}_X będzie zbiorem tych punktów obszaru \mathfrak{O}, które dadzą się połączyć z X\; łamaną. Dla każdego X \in \mathfrak{O} zbiór \mathfrak{F}_X jest zbiorem otwartym, bo jeśli A \in \mathfrak{F}_X, to z punktem X\; można połączyć łamaną każdy punkt kuli k(A, r) \subset \mathfrak{O}. Z drugiej strony zbiór:
\mathfrak{O} \setminus \mathfrak{F}_X = \bigcup_{Y \in \mathfrak{O} \setminus \mathfrak{F}_X} \mathfrak{F}_Y
jest również zbiorem otwartym, a zatem ze względu na spójność zbioru \mathfrak{O} zbiór \mathfrak{O} \setminus \mathfrak{F}_X = \varnothing, czyli \mathfrak{F}_X = \mathfrak{O}[7].
  • Własność ta jest spełniona dla obszarów w przestrzeni euklidesowej \mathbb{R}^n, n \geqslant 1 oraz dla obszarów przestrzeni zespolonej \mathbb{C}^n, n \geqslant 1, przy czym istnieje wtedy łamana łącząca dwa punkty obszaru składająca się ze skończonej liczby odcinków[8].
  • Powyższa własność jest również spełniona dla obszaru każdej topologicznej przestrzeni wektorowej.
  • Każdy zbiór otwarty \mathfrak{O} \subset \mathbb{C} jest sumą obszarów, bo:
\mathfrak{O} = \bigcup_{X \in \mathfrak{O}} \mathfrak{F}_X.


Przypisy

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, s. 257, seria: Biblioteka matematyczna (BM 9).
  2. И. М. Виноградов (redaktor): Математическая энциклопедия. Wyd. 1. T. 3, Коо-Од. Москва: Советская энциклопедия, 1982, s. 1098.
  3. Математическая энциклопедия, t. 3, Коо-Од, op. cit., s. 1098
  4. Математическая энциклопедия, t. 3, Коо-Од, op. cit., s. 1098
  5. Математическая энциклопедия, t. 3, Коо-Од, op. cit., s. 1098
  6. A. И. Мaркушевич: Тeopия аналитических функций. Wyd. 1. T. 1. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1950, s. 406.
  7. Kuratowski, op. cit., s. 257
  8. Математическая энциклопедия, t. 3, Коо-Од, op. cit., s. 1098