Odległość Bhattacharyya

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Odległość Bhattacharyya jest miarą stosowaną w statystyce do oszacowania różnicy między dwoma rozkładami prawdopodobieństwa. Jest specjalnym przypadkiem bardziej ogólnej odległości Chernoffa.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dane mamy dwa rozkłady prawdopodobieństwa p_1, p_2\,. Współczynnik Bhattacharyya definiuje się jako[1]

\rho = \int \sqrt{p_1(x)p_2(x)}dx

Odległość Bhatacharyya definiuje się jako:

 d_b(p_1,p_2) = - \ln \rho \,

Współczynnik \rho\, leży w przedziale [0,1]\,, zatem 0 \leqslant d_b \leqslant \infty

Wzory dla poszczególnych rozkładów[edytuj | edytuj kod]

Typ rozkładu Wzór rozkładu p_i(x)\, Wartość d_b(p_1,p_2)\,
Jednowymiarowy rozkład Gaussa: N(\mu_i,\sigma_i)\,  {1 \over \sigma_i\sqrt{2\pi}} \exp \left( \frac {-(x-\mu_i )^2} {2\sigma_i^2} \right) \frac{1}{4} \frac{(\mu_1 - \mu_2)^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} + \frac{1}{2}\ln \left( \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{2\sigma_1\sigma_2} \right)
n-wymiarowy rozkład Gaussa:
N(\mu_i,C_i)\,
 {1 \over (2\pi)^{n/2}|C_i|^{1/2} } \exp\left( -\frac{1}{2} (x - \mu_i)^TC_i^{-1}(x - \mu_i)\right) \frac{1}{8}(\mu_1 - \mu_2)^TC^{-1}(\mu_1 - \mu_2) + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{|C|}{\sqrt{|C_1||C_2|}}\right), gdzie C = {C_1 + C_2 \over 2}
rozkład Poissona \frac{e^{-\lambda_i}\lambda_i^k}{k!}\delta(x-\lambda_i) \frac{1}{2}(\sqrt{\lambda_1} - \sqrt{\lambda_2})^2

Przypisy

  1. Thomas Kailath, "The Divergence and Bhattacharyya Distance Measures in Signal Selection, IEEE Transactions on Communication Technology, Vol. 15, No. 1, Luty 1967