Odległość punktu od prostej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Odległość punktu (P) od prostej (k) jest to najmniejsza spośród odległości pomiędzy punktem P i punktami prostej k. Odległością tą jest długość odcinka prostej prostopadłej do k, którego końcami są punkt P i przecięcie z prostą k.

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych: jeżeli punkt P ma współrzędne  (x_P, y_P), a prosta k dana jest równaniem ogólnym  Ax+By+C=0, to odległość d(P,k) punktu P od prostej k wyrażona jest wzorem:

d(P,k) = \frac {|A\,x_p+B\,y_p+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}


Ilustracja wyprowadzenia wyrażenia wektorowego.

Prostą można ogólnie przedstawić wektorowo jako zbiór punktów

 \vec{x} = \vec{a} + t\vec{n}

gdzie wektor a jest ustalonym punktem prostej, zaś n jej wersorem (jednostkowym wektorem kierunkowym). Rzeczywisty parametr t określa odległość, o jaką punkt x jest przesunięty od a w kierunku n.

Odległość dowolnego punktu p od tej prostej wyraża się przez

 \| (\vec{a}-\vec{p}) - ((\vec{a}-\vec{p}) \cdot  \vec{n})\vec{n} \|.

Wzór ten stosuje się w dowolnej liczbie wymiarów. Skonstruowany został geometrycznie następująco: \vec{a}-\vec{p} jest wektorem od danego punktu p do punktu a na prostej. Zatem (\vec{a} - \vec{p}) \cdot  \vec{n} jest długością rzutu tego wektora na daną prostą (kropka reprezentuje tu iloczyn skalarny wektorów) i wobec tego

((\vec{a} - \vec{p}) \cdot  \vec{n})\vec{n}

jest wektorem – rzutem wektora \vec{a}-\vec{p} na prostą. Stąd wektor

(\vec{a}-\vec{p}) - ((\vec{a}-\vec{p}) \cdot  \vec{n})\vec{n}

jest składową wektora \vec{a}-\vec{p} prostopadłą do danej prostej, a jego norma szukaną odległością.