Funkcja odwrotna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Odwracalność funkcji)

Funkcja odwrotnafunkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli odwzorowuje na to odwzorowuje na

Funkcję nazywamy odwracalną w gdy istnieje funkcja taka, że:

dla każdego
dla każdego

Innymi słowy jest taką funkcją, że złożenia oraz są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze i Funkcję nazywamy funkcją odwrotną do i oznaczamy symbolem

Bezpośrednio z definicji wynika, że jest funkcją odwracalną w wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), czyli jednocześnie jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).

Oznaczenia nie należy mylić z symbolem

Istnienie[edytuj | edytuj kod]

Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.

Twierdzenie

Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.

Wyznaczanie[edytuj | edytuj kod]

Wyznaczenie funkcji odwrotnej do danej polega na rozwiązaniu równania

względem niewiadomej Rozwiązanie, czyli

to poszukiwana funkcja odwrotna.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Funkcja ma odwrotną ponieważ odwzorowuje na 3, to przekształca 3 w
  • Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL. (Zakładając, że funkcja przypisująca PESEL jest injekcją, co nie jest prawdą z powodu błędów w przyznawaniu numerów PESEL[1])
  • Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
  • Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem jest funkcja
  • Funkcja nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że (nie jest różnowartościowa), jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją, w związku z tym funkcja dana wzorem dla nie jest funkcją odwrotną do funkcji
  • Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem dla jest ona sama, tzn. (zob. Inwolucje).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jednoznaczność[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

Symetria[edytuj | edytuj kod]

Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do jest to odwrotną do jest funkcja Symbolicznie:

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

Odwrotność złożenia[edytuj | edytuj kod]

Funkcją odwrotną do jest

Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem

Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku i aby odwrócić działanie następującego po należy najpierw odwrócić a następnie odwrócić

Inwolucje[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na jest swoją własną odwrotnością:

Ogólniej, jeżeli funkcja jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie jest równe Takie funkcje nazywa się inwolucjami.

Zachowywane własności[edytuj | edytuj kod]

  • Funkcja odwrotna do funkcji monotonicznej jest monotoniczna: odwrotna do rosnącej jest rosnąca, zaś odwrotna do malejącej jest malejąca.
  • Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej jest ciągła.
  • Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których w szczególności
  • Dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych (o równaniu ) jest symetryczny do wykresu funkcji odwrotnej do niej (o równaniu ) względem prostej [2].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Przez pomyłkę nadano kilku tysiącom osób ten sam numer PESEL. wiadomosci.wp.pl. [dostęp 2017-11-08]. (pol.).
  2. funkcja odwrotna, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-08].

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Eric W. Weisstein, Inverse Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-10-10].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Inverse function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].