Odwrotna transformata Laplace’a

W matematyce, odwrotna transformata Laplace’a funkcji $\; F(s) \;$ jest funkcją $\; f(t) \;$, która posiada następującą własność:

$\; \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} = F(s), \;$

gdzie $\mathcal{L}$ jest transformatą Laplace’a. Odwrotną transformację Laplace’a zapisuje się często w postaci:

$\; f(t) = \mathcal{L}^{- 1} \left\{ F(s) \right\} , \;$

Transformata Laplace’a i odwrotna transformata Laplace’a mają wiele użytecznych właściwości dla systemów liniowych.

Odwrotną transformatę Laplace’a otrzymuje się wykonując następujące całkowanie w polu zespolonym:

$\; f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s) \, e^{st} \, ds, \quad t>0 \;$

gdzie liczbę rzeczywistą $\; c \;$ dobiera się tak, aby wszystkie punkty osobliwe funkcji podcałkowej leżały po lewej stronie prostej $\; {\rm Re} \{ s \} = c \;$.

Niekiedy w literaturze przedmiotu używa się także określenia odwrotna transformata Mellina lub odwrotna transformata Mellina-Bromwicha.

Bibliografia

• A.D. Polyanin, A.V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton 1998, ISBN 0-8493-2876-4.
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.