Odwzorowania otwarte i domknięte

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Odwzorowanie otwarte i odwzorowanie domknięte – terminy w topologii odnoszące się do specjalnych własności funkcji pomiędzy przestrzeniami topologicznymi.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\tau_X) i (Y,\tau_Y) będą przestrzeniami topologicznymi. Powiemy, że funkcja f:X\longrightarrow Y jest otwarta, jeśli obraz każdego otwartego podzbioru X jest otwarty w Y. Tak więc f jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy

\big(\forall A\in \tau_X\big)\big(f(A)\in\tau_Y\big).

Pojęcie funkcji domkniętej jest wprowadzane podobnie, zastępując zbiory otwarte przez podzbiory domknięte. Czyli f jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy obraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty, który to warunek można zapisać jako

\big(\forall A\in \tau_X\big)\big(Y\setminus f(X\setminus A)\in\tau_Y\big).

W powyższych definicjach nie zakładano żadnych dodatkowych własności funkcji f, w szczególności nie musi być ona ciągła. Jednak niektórzy autorzy wymagają dodatkowo, że funkcja f jest ciągła (wtedy więc odwzorowania otwarte i odwzorowania domknięte są funkcjami ciągłymi), por. Kuratowski[1], Engelking[2]

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy homeomorfizm przestrzeni topologicznych jest zarówno odwzorowaniem otwartym, jak i odwzorowaniem domkniętym.
  • Rzut odwzorowujący trójwymiarową przestrzeń euklidesową na daną płaszczyznę jest ciągłym odwzorowaniem otwartym, które nie jest domknięte. Podobnie dla rzutów płaszczyzny na proste.
  • Jeśli X=\prod\limits_{i\in I}X_i jest produktem Tichonowa przestrzeni topologicznych, j\in I oraz

\pi_j:X\longrightarrow X_j:\bar{x}=\langle x_i:i\in I\rangle\mapsto x_j

jest rzutem na j-tą wspołrzędną, to \pi_j jest ciągłym odwzorowaniem otwartym z przestrzeni X na przestrzeń X_j.
  • Jeśli Y jest przestrzenią dyskretną, to każda funkcja f:X\longrightarrow Y jest odwzorowaniem domkniętym i otwartym (ale taka funkcja nie musi być ciągła).
  • Funkcja g:{\mathbb R}\longrightarrow{\mathbb R}:r\mapsto r^2 jest ciągłą funkcją domkniętą. Nie jest ona otwarta (np. obraz całej przestrzeni nie jest otwartym podzbiorem {\mathbb R}). Natomiast ta sama funkcja traktowana jako odwzorowanie g:{\mathbb R}\longrightarrow [0,\infty) jest otwarta. Przykład ten pokazuje, że pojęcia wprowadzone tutaj zależą od wyboru przeciwdziedziny funkcji.

Charakteryzacje i własności[edytuj | edytuj kod]

  • Niech f:X\longrightarrow Y. Wówczas
(a) f jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru B\subseteq Y i każdego domkniętego zbioru A\subseteq X, takiego że f^{-1}(B)\subseteq A, istnieje zbiór domknięty C\subseteq Y, taki że B\subseteq C i f^{-1}(C)\subseteq A;
(b) f jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru B\subseteq Y i każdego otwartego zbioru A\subseteq X, takiego że f^{-1}(B)\subseteq A, istnieje otwarty zbiór C\subseteq Y, taki że B\subseteq C i f^{-1}(C)\subseteq A.
  • Złożenie funkcji otwartych jest funkcją otwartą, podobnie złożenie funkcji domkniętych jest odwzorowaniem domkniętym.
  • Funkcja f:X\longrightarrow Y jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza {\mathcal B} topologii na X, taka że f(U) jest otwarte w Y dla każdego U\in {\mathcal B}.
  • Jeśli X jest przestrzenią zwartą i Y jest przestrzenią Hausdorffa, to każda funkcja ciągła f:X\longrightarrow Y jest odwzorowaniem domkniętym.
  • Przypuśćmy, że odwzorowanie f:X\longrightarrow Y jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) Odwzorowanie f jest homeomorfizmem.
(ii) Odwzorowanie f jest domknięte i ciągłe.
(iii) Odwzorowanie f jest otwarte i ciągłe.
(iv) Dla każdego zbioru A\subseteq X,

f(A) jest domknięty w Y wtedy i tylko wtedy, gdy A jest domknięty w X.

(v) Dla każdego zbioru A\subseteq X,

f(A) jest otwarty w Y wtedy i tylko wtedy, gdy A jest otwarty w X.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 115.
  2. Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strony 31-32. ISBN 3-88538-006-4