Odwzorowanie nierozszerzające

Odwzorowanie nierozszerzające (zwane przez niektórych autorów słabą kontrakcją) to odwzorowanie przestrzeni metrycznych, które nie zwiększa odległości punktów.

Definicja

Niech $(X, d_X)$ oraz $(Y, d_Y)$ będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie $f\colon X \to Y$ nazywamy nierozszerzającym, jeśli dla dowolnych $x_1, x_2 \in X$ zachodzi nierówność

${d_Y(f(x_1),f(x_2))}\leqslant {d_X(x_1,x_2)}$.

Innymi słowy, odwzorowanie nierozszerzające to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą równą 1.

Własności

Każde odwzorowanie nierozszerzające, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest jednostajnie ciągłe, a więc w szczególności ciągłe.

W przeciwieństwie do kontrakcji, odwzorowanie nierozszerzające przestrzeni metrycznej zupełnej $X$ w siebie może nie mieć punktów stałych (np. translacje w przestrzeniach Banacha) lub mieć ich wiele (np. identyczność na $\mathbb R$). Przy dodatkowych założeniach o $X$ można jednak wykazać istnienie punktu stałego. Przykładowo, jeśli $X$ jest niepustym, domkniętym, ograniczonym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta, to ma punkt stały (twierdzenie Browdera–Goehde'a–Kirka).

Teoria kategorii

Odwzorowania nierozszerzające są morfizmami w kategorii przestrzeni metrycznych.