Odwzorowanie nierozszerzające

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Odwzorowanie nierozszerzające (zwane przez niektórych autorów słabą kontrakcją) to odwzorowanie przestrzeni metrycznych, które nie zwiększa odległości punktów.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, d_X) oraz (Y, d_Y) będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie f\colon X \to Y nazywamy nierozszerzającym, jeśli dla dowolnych x_1, x_2 \in X zachodzi nierówność

{d_Y(f(x_1),f(x_2))}\leqslant {d_X(x_1,x_2)}.

Innymi słowy, odwzorowanie nierozszerzające to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą równą 1.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Każde odwzorowanie nierozszerzające, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest jednostajnie ciągłe, a więc w szczególności ciągłe.

W przeciwieństwie do kontrakcji, odwzorowanie nierozszerzające przestrzeni metrycznej zupełnej X w siebie może nie mieć punktów stałych (np. translacje w przestrzeniach Banacha) lub mieć ich wiele (np. identyczność na \mathbb R). Przy dodatkowych założeniach o X można jednak wykazać istnienie punktu stałego. Przykładowo, jeśli X jest niepustym, domkniętym, ograniczonym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta, to ma punkt stały (twierdzenie Browdera–Goehde'a–Kirka).

Teoria kategorii[edytuj | edytuj kod]

Odwzorowania nierozszerzające są morfizmami w kategorii przestrzeni metrycznych.