Odwzorowanie styczne

Odwzorowanie styczne jest pojęciem matematycznym, dotyczącym geometrii różniczkowej, stanowiącym uogólnienie pochodnej funkcji wielu zmiennych na rozmaitości różniczkowe

Odwzorowanie styczne w punkcie

Niech $M$ i $N$ będą rozmaitościami różniczkowymi klasy $C^k\,$, $k \geqslant 1$, wymiaru odpowiednio $m$ i $n$. Niech $F : M \to N$ będzie funkcją klasy $C^k\,$.

Odwzorowaniem styczym do $F$ w punkcie $p \in M$ nazywamy odwzorowanie między przestrzeniami stycznymi rozmaitości $M$ i $N$, $d_pF : T_p(M) \to T_{F(p)}(N)\,$, zdefiniowane wzorem:

$d_pF(\gamma'(0)) = (F \circ \gamma)'(0)$

gdzie $\gamma'(0)\,$ oznacza wektor styczny do krzywej $\gamma$ przechodzącej przez punkt $p$, czyli klasę abstrakcji krzywej $\gamma$, względem relacji $\sim$ z definicji przestrzeni stycznej.

Komentarz

Odwzorowanie styczne w ustalonym punkcie jest odwzorowaniem liniowym i jest zwane różniczką funkcji $F$ w punkcie $p$.

Odwzorowanie styczne

Odwzorowaniem styczym do $F$ nazywamy odwzorowanie między wiązkami stycznymi rozmaitości $M$ i $N$, $TF : T(M) \to T(N)\,$, zdefiniowane wzorem:

$TF(p, X) = (F(p), d_pF(X))\,$

gdzie $p \in M$ oraz $X \in T_pM$. Odzworowanie styczne jest funkcją klasy $C^{k-1}\,$.

Zobacz też

Odwzorowanie kostyczne

Bibliografia

1. Wojciech Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, 1986.