Okrąg dziewięciu punktów

Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera jest to okrąg, który przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów dowolnego trójkąta. Punktami tymi są:

• środki boków (na rysunku niebieskie),
• spodki trzech wysokości (czerwone) oraz
• punkty dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum (zielone).

Historia odkrycia

W 1822 roku Karl Wilhelm Feuerbach, którego nazwiskiem nazywa się czasem okrąg dziewięciu punktów, zauważył, że sześć charakterystycznych punktów trójkąta – środki boków oraz spodki wysokości – leżą na wspólnym okręgu. Odkrycia tego dokonali wcześniej,w 1821 roku, Charles Brianchon i Jean-Victor Poncelet. Jeszcze wcześniej, nad współokręgowością wspomnianych punktów zastanawiali się Benjamin Bevan (1804) i John Butterworth (1807).

Krótko po Feuerbachu, matematyk Olry Terquem niezależnie udowodnił istnienie okręgu i jako pierwszy zauważył, że leżą na nim również środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum. Terquem jako pierwszy użył również nazwy „okrąg dziewięciu punktów”.

Dowód

W trójkącie $\Delta ABC$ przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku obok:

• $H_{A},\,H_{B},\,H_{C}$ to odpowiednio spodki wysokości opuszczonych z wierzchołków $A,B,C,$
  • $H$ to ortocentrum, czyli punkt przecięcia się wysokości w trójkącie,
• $S_{A},\,S_{B},\,S_{C}$ to punkty połowiące odcinki $AH,BH,CH,$
• $A',\,B',\,C'$ to punkty połowiące boki trójkąta: $BC,AC,AB.$

Rozważmy trójkąt $\Delta S_{C}H_{C}C'$ i okrąg na nim opisany. Zauważmy, że kąt $\angle S_{C}H_{C}C'$ jest prosty, jako że $CH_{C}$ jest wysokością trójkąta $\Delta ABC.$ Oznacza to, że odcinek $C'S_{C}$ jest średnicą okręgu opisanego na $\Delta C'S_{C}H_{C}.$

Z definicji punktów $B'$ oraz $S_{C}$ zachodzi

${\frac {CB'}{CA}}={\frac {1}{2}}={\frac {CS_{C}}{CH}},$

co oznacza, dzięki twierdzeniu twierdzeniu odwrotnemu do twierdzenia Talesa, że

$S_{C}B'\parallel AH,$ a zatem i

$S_{C}B'\parallel AH_{A}.$

Analogicznie, ponieważ

${\frac {AC'}{AB}}={\frac {1}{2}}={\frac {AB'}{AC}},$

więc

$C'B'\parallel CB.$

Ale $AH_{A}\perp BC,$ a co za tym idzie

$B'S_{C}\perp C'B',$

co oznacza, że trójkąt $\Delta C'S_{C}B'$ także jest prosty, a więc punkty $S_{C},\,B',\,C',H_{C}$ leżą na jednym okręgu.

Podobnie pokazujemy, że $S_{C}A'\parallel BH_{B}$ oraz $A'C'\parallel AC,$ a korzystając z tego, że $AC\perp BH_{B}$ otrzymujemy, że trójkąt $\Delta S_{C}A'C'$ także jest prostokątny, co oznacza, że punkty $S_{C},\,H_{C},\,A',\,B',\,C'$ leżą na wspólnym okręgu.

Konstrukcję powtarzamy rozpoczynając od punktów $S_{A}$ i $H_{A},$ a następnie od $S_{B}$ i $H_{B}.$ W ich wyniku otrzymujemy, że każda z piątek punktów

• $S_{A},\,H_{A},\,A',\,B',\,C',$
• $S_{B},\,H_{B},\,A',\,B',\,C'$ oraz
• $S_{C},\,H_{C},\,A',\,B',\,C'$

jest współokręgowa. Ale na trzech (wspólnych dla piątek) punktach $A',B',C'$ można opisać tylko jeden okrąg, co oznacza, że dziewięć punktów

$S_{A},\,H_{A},\,S_{B},\,H_{B},\,S_{C},\,H_{C},\,A',\,B',\,C'$

leży na wspólnym okręgu.

Własności

Styczność okręgu dziewięciu punktów z okręgiem wpisanym i okręgami dopisanymi

Twierdzenie Feuerbacha

Karl Wilhelm Feuerbach udowodnił, że w dowolnym trójkącie okrąg dziewięciu punktów jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego i zewnętrznie do trzech okręgów dopisanych . Punkt styczności okręgu wpisanego i okręgu dziewięciu punktów nazywa się często punktem Feuerbacha.

Inne własności

• W trójkącie równobocznym spodki wysokości i środki boków pokrywają się, a więc okrąg dziewięciu punktów jest także okręgiem wpisanym w ten trójkąt.

• Środek okręgu dziewięciu punktów leży na tzw. prostej Eulera, dokładnie w połowie odcinka pomiędzy ortocentrum tego trójkąta a środkiem okręgu na nim opisanego.

Okrąg dziewięciu punktów ma dwukrotnie mniejszy promień, niż okrąg opisany na trójkącie. Porównując trójkąty $\Delta HLN$ i $\Delta HOK$ łatwo zauważyć, że środek każdego odcinka łączącego ortocentrum $H$ z dowolnym punktem na okręgu opisanym leży na okręgu dziewięciu punktów.

• Promień okręgu opisanego na trójkącie jest dwukrotnie większy od promienia okręgu dziewięciu punktów tego trójkąta. Wynika to z faktu, że trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków trójkąta wyjściowego jest od niego dwukrotnie mniejszy.

• Okrąg dziewięciu punktów połowi każdy odcinek łączący ortocentrum tego trójkąta z dowolnym punktem na okręgu opisanym.

• Każdy z trzech środków odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum jest obrazem środków boków trójkąta w symetrii względem środka okręgu dziewięciu punktów.

• Środki wszystkich hiperbol prostokątnych (tj. hiperbol o asymptotach przecinających się pod kątem prostym), które przechodzą przez wierzchołki trójkąta, leżą na okręgu dziewięciu punktów tego trójkąta. Jest to fakt znany jako twierdzenie stożkowe Feuerbacha.

• Przy oznaczeniach jak wyżej, wszystkie trójkąty o wierzchołkach wybranych z punktów $A,\,B,\,C,\,H$ będą miały ten sam okrąg dziewięciu punktów. Jest to prawdziwe dla dowolnego układu ortocentrycznego punktów.
  • Wynika to z prostej symetrii: w trójkącie $\Delta CAH$ okrąg dziewięciu punktów musi przechodzić przez środki boków $AH,CH$ oraz $CA.$ Ale są to również te same punkty (środek jednego boku i środki dwóch odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum), przez które musi przechodzi okrąg dziewięciu punktów w trójkącie $\Delta ABC.$
  • Wynika z tego od razu, że okręgi opisane na wszystkich czterech trójkątach układu mają ten sam promień.

• Środek okręgu dziewięciu punktów jest centroidem czterech punktów: wierzchołków trójkąta oraz jego ortocentrum.

• W trójkącie środki okręgów: wpisanego i dopisanych tworzą układ ortocentryczny. Okrąg dziewięciu punktów tego układu jest zarazem okręgiem opisanym na trójkącie wyjściowym. Spodki wysokości w układzie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.

Okręgi dziewięciu punktów dla nieortocentrycznego układu punktów $A,\,B,\,C,\,D.$ Na różowo zaznaczono krzywą, przechodzącą przez środki boków trójkątów (na jasnozielono) oraz przez przecięcie wszystkich okręgów (na czerwono), o środku w centroidzie czworokąta $ABCD$ (na niebiesko). Na zielono zaznaczono hiperbolę Kieperta, przechodzącą przez cztery punkty wyjściowe punkty, jak i przez ortocentra trójkątów z tych punktów utworzonych, o środku w punkcie przecięcia się okręgów. Animacja pokazuje, co dzieje się, gdy układ punktów staje się ortocentryczny.

• Jeśli dane są cztery punkty $A,\,B,\,C,\,D,$ które nie tworzą układu ortocentrycznego, to wtedy cztery okręgi dziewięciu punktów trójkątów $\Delta ABC,\,\Delta BCD,\Delta CAD$ i $\Delta ADB$ przecinają się w jednym punkcie. Sześć pozostałych punktów przecięć czterech okręgów pokrywa się ze środkami boków trójkątów.
  • Ponadto istnieje dokładnie jedna stożkowa, o środku w centroidzie czterech punktów $A,\,B,\,C,\,D,$ która przechodzi przez wszystkie siedem punktów przecięć czterech okręgów dziewięciu punktów.
  • Co więcej, na podstawie stożkowego twierdzenia Feuerbacha istnieje dokładnie jedna krzywa stożkowa prostokątna, zwana hiperbolą Kieperta o środku w przecięciu czterech okręgów dziewięciu punktów, która przechodzi przez wszystkie cztery punkty $A,\,B,\,C,\,D,$ jak i również przez ortocentra czterech powyższych trójkątów.

Na rysunku: okręgi dziewięciu punktów dla trójkątów $\Delta ABC,\,\Delta BCD,\Delta CAD$ i $\Delta ADB,$ okrąg do nich przystający o środku w antycentrum czworoktąta $ABCD$ (na czerwono) oraz leżący na tym okręgu obraz czworokąta $ABCD$ w jednokładności względem punktu $N$ (na fioletowo).

• Jeśli cztery punkty $A,\,B,\,C,\,D$ tworzą czworokąt, który da się wpisać w okrąg, to okręgi dziewięciu punktów trójkątów $\Delta ABC,\,\Delta BCD,\Delta CAD$ i $\Delta ADB$ przecinają się w punkcie zwanym antycentrum tego czworokąta.
  • Jako że okrąg, w który wpisany jest czworokąt $ABCD$ jest również okręgiem opisanym na każdym z trójkątów powyżej, każdy z okręgów dziewięciu punktów tych trójkątów będzie miał taki sam promień, wynoszący połowę długości promienia okręgu opisanego.
  • Okręgi dziewięciu punktów są zbiorem tzw. okręgów Johnsona. Środki tych okręgów są współokręgowe i leżą na okręgu o takim samym promieniu, jak okręgi dziewięciu punktów, o środku w antycentrum czworokąta wpisanego. Co więcej, czworokąt utworzony ze środków czterech okręgów dziewięciu punktów jest obrazem wyjściowego czworokąta w jednokładności o skali ${\frac {1}{2}}$ i środku w punkcie $N,$ dzielącym odcinek pomiędzy środkiem okręgu opisanego $O$ i antycentrum $M$ tak, aby $(ON=2NM)$.

• Współrzędne trójliniowe środka okręgu dziewięciu punktów to $\cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)$

• Współrzędne trójliniowe punktu Feuerbacha to $1-\cos(B-C):1-\cos(C-A):1-\cos(A-B)$

• Współrzędne trójliniowe środka hiperboli Kieperta to $bc(b^{2}-c^{2})^{2}:ca(c^{2}-a^{2})^{2}:ab(a^{2}-b^{2})^{2}$

Uogólnienia

Okrąg dziewięciu punktów jest krzywą stożkową przechodzącą przez dziewięć punktów trójkąta: środki boków, połowy odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum oraz spodki wysokości. Jeśli zamiast spodków wysokości trójkąta wziąć spodki dowolnych trzech, wychodzących z wierzchołków, przecinających się w jednym punkcie odcinków, to okaże się, że przez te punkty przechodzi dokładnie jedna krzywa stożkowa zwana krzywą dziewięciu punktów.

Bibliografia

• O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
• H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.
• H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
• Solution: 2276. „Crux Mathematicorum”. 24 (8). ISSN 1496-4309. 
• Heinrich Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Soluton. David Antin (tłum.). Nowy York: Dover, 1965.
• Karl Wilhelm Feuerbach, Carl Heribert Ignatz Buzengeiger: Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung. Nürnberg: Wiessner, 1822.
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry (dawn. Modern Geometry). Nowy York: Dover, 1960.
• Clark Kimberling: Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangle Centers. 2013-10-22. [dostęp 2014-05-04]. (ang.).
• Lev Kurlyandchik: Kącik olimpijski, część I. Geometria. Toruń: Wydawnictwo Aksjomat. ISBN 978-83-87329-82-7.
• J.S MacKay. History of the Nine Point Circle. „Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society”, s. 19–61, 1892. 
• Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.
• John Welesley Russell: An elementary treatise on pure geometry with numerous examples. Oxford, Clarendon Press, 1905.
• David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. John Sharp (ilustr.). Penguin Books Ltd., 1991.
• Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.
• S.I. Zetel: Geometria trójkąta. Andrzej Mąkowski (tłum.). Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1964.
• David Fraivert: New points that belong to the nine-point circle. The Mathematical Gazette, 2019.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Nine-Point circle, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• Michael de Villiers: A generalisation of the nine-point circle and Euler line. [dostęp 2013-08-01]. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-11-06)].
• Jim Wilson: Taking Some Mystery out of the Nine Point Circle with GSP.
• Jim Wilson: History of the Nine Point Circle.