Okrąg dziewięciu punktów

Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera jest to okrąg, który przechodzi przez środki boków (na rysunku niebieskie) dowolnego trójkąta. Okrąg Feuerbacha przechodzi ponadto przez spodki trzech wysokości (czerwone) oraz przez punkty (zielone) dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkata z jego ortocentrum.

Środek okręgu Feuerbacha leży na prostej Eulera i jest środkiem odcinka łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, zaś jego promień jest równy połowie promienia okręgu opisanego.

Dowód

Zauważmy, że odcinek $C'S_C$ jest średnicą okręgu opisanego na $\Delta C'S_C H_C$, bo $\angle S_C H_C C'$ jest prosty(kąt między bokiem a wysokością na niego opuszczoną), więc jest oparty na średnicy.

$\frac{CB'}{CA} = \frac{CS_C}{CH} = \frac{1}{2}$,

gdzie $H$ jest ortocentrum.

Zatem $S_C B'$||$AH_A$.

$\frac{AC'}{AB} = \frac{AB'}{AC} = \frac {1}{2}$

więc $B'C'$||$CB$.

Zatem $\angle S_C B' C' = \angle AH_A C = 90^\circ = \angle S_C H_C C'$

więc punkty $S_C, B', C', H_C$ leżą na jednym okręgu.

Podobnie $S_C A'$||$BH_B$ oraz $A'C'$||$CA$, więc $\angle S_C A'C' = 90^\circ$, czyli punkt $A'$ również leży na okręgu opisanym na $\Delta C' S_C H_C$. Zatem $S_C, H_C$ leżą na okręgu opisanym na $\Delta A'B'C'$.

Analogicznie otrzymujemy, że na tym okręgu leżą $S_B, H_B$ oraz $S_A, H_A$

Z czego wynika, że wszystkie dziewięć punktów leży na jednym okręgu.

Twierdzenie Feuerbacha

Okazuje się, że okrąg dziewięciu punktów jest styczny do okręgu wpisanego i trzech okręgów dopisanych. Fakt ten udowodnił niemiecki matematyk Karl Wilhelm Feuerbach.