Okrąg dziewięciu punktów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Feuerbach circle.svg

Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha[1] lub okrąg Eulera[2] jest to okrąg, który przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów dowolnego trójkąta. Punktami tymi są:

Historia odkrycia[edytuj | edytuj kod]

W 1822 roku Karl Wilhelm Feuerbach, którego nazwiskiem nazywa się czasem okrąg dziewięciu punktów, zauważył, że sześć charakterystycznych punktów trójkąta - środki boków oraz spodki wysokości - leżą na wspólnym okręgu. Odkrycia tego dokonali wcześniej,w 1821 roku, Charles Brianchon i Jean-Victor Poncelet[3]. Jeszcze wcześniej, nad współokręgowością wspomnianych punktów zastanawiali się Benjamin Bevan (1804) i John Butterworth (1807)[4][3].

Krótko po Feuerbachu, matematyk Olry Terquem niezależnie udowodnił istnienie okręgu i jako pierwszy zauważył, że leżą na nim również środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum. Terquem jako pierwszy użył również nazwy "okrąg dziewięciu punktów"[5].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Feuerbach circle proof2.svg

W trójkącie \Delta ABC przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku obok:

  • H_A,\, H_B,\, H_C to odpowiednio spodki wysokości opuszczonych z wierzchołków A,B,C,
    • H to ortocentrum, czyli punkt przecięcia się wysokości w trójkącie,
  • S_A,\, S_B,\, S_C to punkty połowiące odcinki AH,BH,CH,
  • A',\, B',\, C' to punkty połowiące boki trójkąta: BC,AC,AB.

Rozważmy trójkąt \Delta S_C H_C C' i okrąg na nim opisany. Zauważmy, że kąt \angle S_C H_C C' jest prosty, jako że CH_C jest wysokością trójkąta \Delta ABC. Oznacza to, że odcinek C'S_C jest średnicą okręgu opisanego na \Delta C'S_C H_C.

Z definicji punktów B' oraz S_C zachodzi

\frac{CB'}{CA} = \frac{1}{2} = \frac{CS_C}{CH} ,

co oznacza, dzięki twierdzeniu twierdzeniu odwrotnemu do twierdzenia Talesa, że

S_C B'\parallel AH, a zatem i
S_C B'\parallel  AH_A.

Analogicznie, ponieważ

\frac{AC'}{AB} = \frac{1}{2} = \frac{AB'}{AC} ,

więc

C' B'\parallel CB.

Ale AH_A \perp BC, a co za tym idzie

B'S_C\perp C'B',

co oznacza, że trójkąt \Delta C'S_C B' także jest prosty, a więc punkty S_C,\, B',\, C', H_C leżą na jednym okręgu.

Podobnie pokazujemy, że S_C A'\parallel BH_B oraz A'C'\parallel AC, a korzystając z tego, że A'B' \perp CH_C otrzymujemy, że trójkąt \Delta S_C A'C' także jest prostokątny, co oznacza, że punkty S_C,\, H_C,\, A',\, B',\, C' leżą na wspólnym okręgu.

Konstrukcję powtarzamy rozpoczynając od punktów S_A i H_A, a następnie od S_B i H_B. W ich wyniku otrzymujemy, że każda z piątek punktów

  • S_A,\, H_A,\, A',\, B',\, C',
  • S_B,\, H_B,\, A',\, B',\, C' oraz
  • S_C,\, H_C,\, A',\, B',\, C'

jest współokręgowa. Ale na trzech (wspólnych dla piątek) punktach A', B', C' można opisać tylko jeden okrąg, co oznacza, że dziewięć punktów

S_A,\, H_A,\, S_B,\, H_B,\, S_C,\, H_C,\, A',\, B',\, C'

leży na wspólnym okręgu.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Styczność okręgu dziewięciu punktów z okręgiem wpisanym i okręgami dopisanymi

Twierdzenie Feuerbacha[edytuj | edytuj kod]

Karl Wilhelm Feuerbach udowodnił, że w dowolnym trójkącie okrąg dziewięciu punktów jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego i zewnętrznie do trzech okręgów dopisanych[6]. Punkt styczności okręgu wpisanego i okręgu dziewięciu punktów nazywa się często punktem Feuerbacha[7].

Inne własności[edytuj | edytuj kod]

  • Środek okręgu dziewięciu punktów leży na tzw. prostej Eulera, dokładnie w połowie odcinka pomiędzy ortocentrum tego trójkąta a środkiem okręgu na nim opisanego[8].
Okrąg dziewięciu punktów ma dwukrotnie mniejszy promień, niż okrąg opisany na trójkącie. Porównując trójkąty \Delta HLN i \Delta HOK łatwo zauważyć, że środek każdego odcinka łączącego ortocentrum H z dowolnym punktem na okręgu opisanym leży na okręgu dziewięciu punktów.
  • Promień okręgu opisanego na trójkącie jest dwukrotnie większy od promienia okręgu dziewięciu punktów tego trójkąta[9]. Wynika to z faktu, że trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków trójkąta wyjściowego jest od niego dwukrotnie mniejszy.
    • Okrąg dziewięciu punktów połowi każdy odcinek łączący ortocentrum tego trójkąta z dowolnym punktem na okręgu opisanym.
  • Każdy z trzech środków odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum jest obrazem środków boków trójkąta w symetrii względem środka okręgu dziewięciu punktów.
  • Środki wszystkich hiperbol prostokątnych (tj. hiperbol o asymptotach przecinających się pod kątem prostym), które przechodzą przez wierzchołki trójkąta, leżą na okręgu dziewięciu punktów tego trójkąta[10]. Jest to fakt znany jako twierdzenie stożkowe Feuerbacha.
  • Przy oznaczeniach jak wyżej, wszystkie trójkąty o wierzchołkach wybranych z punktów A,\,B,\,C,\,H będą miały ten sam okrąg dziewięciu punktów. Jest to prawdziwe dla dowolnego układu ortocentrycznego punktów [11].
    • Wynika to z prostej symetrii: w trójkącie \Delta CAH okrąg dziewięciu punktów musi przechodzić przez środki boków AH, CH oraz CA. Ale są to również te same punkty (środek jednego boku i środki dwóch odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum), przez które musi przechodzi okrąg dziewięciu punktów w trójkącie \Delta ABC.
    • Wynika z tego od razu, że okręgi opisane na wszystkich czterech trójkątach układu mają ten sam promień.
  • Środek okręgu dziewięciu punktów jest centroidem czterech punktów: wierzchołków trójkąta oraz jego ortocentrum.
  • W trójkącie środki okręgów: wpisanego i dopisanych tworzą układ ortocentryczny. Okrąg dziewięciu punktów tego układu jest zarazem okręgiem opisanym na trójkącie wyjściowym[12]. Spodki wysokości w układzie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.
Okręgi dziewięciu punktów dla nieortocentrycznego układu punktów A,\,B,\,C,\,D. Na różowo zaznaczono krzywą, przechodzącą przez środki boków trójkątów (na jasnozielono) oraz przez przecięcie wszystkich okręgów (na czerwono), o środku w centroidzie czworokąta ABCD (na niebiesko). Na zielono zaznaczono hiperbolę Kieperta, przechodzącą przez cztery punkty wyjściowe punkty, jak i przez ortocentra trójkątów z tych punktów utworzonych, o środku w punkcie przecięcia się okręgów. Animacja pokazuje, co dzieje się, gdy układ punktów staje się ortocentryczny.
  • Jeśli dane są cztery punkty A,\,B,\,C,\,D, które nie tworzą układu ortocentrycznego, to wtedy cztery okręgi dziewięciu punktów trójkątów \Delta ABC,\,\Delta BCD,\Delta CAD i \Delta ADB przecinają się w jednym punkcie[13]. Sześć pozostałych punktów przecięć czterech okręgów pokrywa się ze środkami boków trójkątów.
    • Ponadto istnieje dokładnie jedna stożkowa, o środku w centroidzie czterech punktów A,\,B,\,C,\,D, która przechodzi przez wszystkie siedem punktów przecięć czterech okręgów dziewięciu punktów.
    • Co więcej, na podstawie stożkowego twierdzenia Feuerbacha istnieje dokładnie jedna krzywa stożkowa prostokątna, zwana hiperbolą Kieperta o środku w przecięciu czterech okręgów dziewięciu punktów, która przechodzi przez wszystkie cztery punkty A,\,B,\,C,\,D, jak i również przez ortocentra czterech powyższych trójkątów[10][13].
Na rysunku: okręgi dziewięciu punktów dla trójkątów \Delta ABC,\,\Delta BCD,\Delta CAD i \Delta ADB, okrąg do nich przystający o środku w antycentrum czworoktąta ABCD (na czerwono) oraz leżący na tym okręgu obraz czworokąta ABCD w jednokładności względem punktu N (na fioletowo).
  • Jeśli cztery punkty A,\,B,\,C,\,D tworzą czworokąt, który da się wpisać w okrąg, to okręgi dziewięciu punktów trójkątów \Delta ABC,\,\Delta BCD,\Delta CAD i \Delta ADB przecinają się w punkcie zwanym antycentrum tego czworokąta[14][15].
    • Jako że okrąg, w który wpisany jest czworokąt ABCD jest również okręgiem opisanym na każdym z trójkątów powyżej, każdy z okręgów dziewięciu punktów tych trójkątów będzie miał taki sam promień, wynoszący połowę długości promienia okręgu opisanego.
    • Okręgi dziewięciu punktów są zbiorem tzw. okręgów Johnsona. Środki tych okręgów są współokręgowe i leżą na okręgu o takim samym promieniu, jak okręgi dziewięciu punktów, o środku w antycentrum czworokąta wpisanego. Co więcej, czworokąt utworzony ze środków czterech okręgów dziewięciu punktów jest obrazem wyjściowego czworokąta w jednokładności o skali \frac{1}{2} i środku w punkcie N, dzielącym odcinek pomiędzy środkiem okręgu opisanego O i antycentrum M tak, aby (ON=2NM)[16].

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Okrąg dziewięciu punktów jest krzywą stożkową przechodzącą przez dziewięć punktów trójkąta: środki boków, połowy odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum oraz spodki wysokości. Jeśli zamiast spodków wysokości trójkąta wziąć spodki dowolnych trzech, wychodzących z wierzchołków, przecinających się w jednym punkcie odcinków, to okaże się, że przez te punkty przechodzi dokładnie jedna krzywa stożkowa zwana krzywą dziewięciu punktów[19][20][21].

Przypisy

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.
  • H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
  • Heinrich Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Soluton. David Antin (tłum.). Nowy York: Dover, 1965.
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry (dawn. Modern Geometry). Nowy York: Dover, 1960.
  • Lev Kurlyandchik: Kącik olimpijski, część I. Geometria. Toruń: Wydawnictwo Aksjomat. ISBN 978-83-87329-82-7.
  • J.S MacKay. History of the Nine Point Circle.. „Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society”, s. 19-61, 1892. 
  • Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.
  • David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. John Sharp (ilustr.). Penguin Books Ltd., 1991.