Okrąg opisany na wielokącie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wpisany w okrąg wielokąt z zaznaczonymi symetralnymi.

Okrąg opisany na wielokącieokrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki wielokąta.

Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne jego wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest wówczas środkiem okręgu opisanego. Wynika stąd, że na żadnym wielokącie niewypukłym nie da się opisać okręgu. Również nie na każdym wielokącie wypukłym można go opisać. Można to jednak zrobić dla każdego trójkąta, prostokąta oraz wielokąta foremnego.

Okrąg opisany na trójkącie[edytuj | edytuj kod]

Okrąg można opisać na każdym trójkącie. Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach równych odpowiednio a, b, c wynosi:

R=\frac{1}{4P}abc (gdzie P jest polem trójkąta)

Promień możemy wyznaczyć też z twierdzenia sinusów, ze wzoru:

2R={a \over \sin\alpha} = {b \over \sin\beta} = {c \over \sin\gamma}

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Wystarczy znać długość boku i leżącego naprzeciwko niego kąta, np. mając dane a i α obliczamy

R=\frac{a}{2\sin\alpha}

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy c/2. Przeciwprostokątna c jest zarazem średnicą tego okręgu, a kąt prosty trójkąta - oparty na średnicy.

Z kolei w przypadku trójkąta równobocznego o boku a stosuje się wzór:

R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{a \sqrt 3}{3}

Twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie. Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe \pi.

\alpha+\beta=\gamma+\delta=\pi\;

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Okrąg opisany na czworokącie

Kąty α i α' oraz β i β' są parami kątów opartych na tym samym łuku. Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i kącie środkowym opartych na tym samym łuku otrzymujemy następujące zależności:

\alpha^\prime = 2\alpha\;
\beta^\prime = 2\beta\;

Jednocześnie kąty α' i β' tworzą razem kąt pełny. Zatem:

\alpha^\prime+\beta^\prime = 2\pi\;
2\alpha+2\beta = 2\pi\;
\alpha+\beta = \pi\;

Analogicznie postępujemy dla drugiej pary kątów.

Przypuśćmy przeciwnie, że na czworokącie ABCD nie można opisać okręgu. Środek okręgu opisanego na trójkącie ABC oznaczmy przez O. Wówczas albo: suma kątów OAD i OCD jest większa lub równa \pi, albo przynajmniej jedna z półprostych otwartych AD, CD przecina łuk AC (bo jeden z kątów OAD, OCD jest mniejszy niż \frac{\pi}{2}).

W pierwszym przypadku ze względu na sumę kątów w czworokącie kąt ADC byłby mniejszy bądź równy \pi - 2 \ang ABC i suma jego i kąta ABC byłaby mniejsza niż \pi.

W drugim przypadku bez zmniejszenia ogólności można założyć, że półprosta AD przecina okrąg w punkcie D'. Ale wtedy z udowodnionej części twierdzenia zachodzi \ang ABC + \ang AD'C = \pi i jeśli założyć, że spełniony jest warunek \ang ABC + \ang ADC = \pi, to będzie z niego wynikać równość kątów ADC i AD'C. Następnie ze współliniowości A, D i D' oraz twierdzenia Talesa równoległość DC i D'C sprzeczna z tym, że się przecinają.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]