Określoność formy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

W algebrze liniowej, macierzą dodatnio określoną nazywamy macierz A\; typu n\times n, która charakteryzuje się następującą właściwością:

A\; jest macierzą hermitowską i dla każdego niezerowego wektora \textbf{x} \in \mathbb{C}^n zachodzi:
\overline{\textbf{x}}^T A \textbf{x} > 0.
A\; jest macierzą symetryczną i dla każdego niezerowego wektora \textbf{x} \in \mathbb{R}^n zachodzi:
\textbf{x}^{T} A \textbf{x} > 0.

Równoważna definicja mówi, że wszystkie wartości własne macierzy A\; są dodatnie.

Macierze ujemnie i nieujemnie określone[edytuj | edytuj kod]

Jeśli dla macierzy hermitowskiej A\; i niezerowego wektora \textbf{x} \in \mathbb{C}^n zachodzi:

  • \overline{\textbf{x}}^T A \textbf{x} \geqslant 0, wówczas A\; jest macierzą nieujemnie określoną (półdodatnio określoną).
  • \overline{\textbf{x}}^T A \textbf{x} < 0, wówczas A\; jest macierzą ujemnie określoną.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Macierz dodatnio określona jest zawsze odwracalna i jej odwrotność jest również dodatnio określona. Jeśli A\; i B\; są dodatnio określone, to A+B\; jest dodatnio określona.

Dla macierzy dodatnio określonej i symetrycznej A\; istnieje odwracalna macierz M\;, taka że:

M M^T = A\,

czyli, istnieje dla niej rozkład Choleskiego.