Operator liczby cząstek

Operator liczby cząstek – w mechanice kwantowej, dla układów, w których liczba rozpatrywanych cząstek nie jest znana, operator liniowy (obserwabla) "zliczający" ich liczbę.

Formalnie, jeżeli $\mathcal{H}$ jest przestrzenią Hilberta, to operator liczby cząstek $N$ na przestrzeni Foka $\Gamma(\mathcal{H})$ definiuje się jako operator

$N \colon \mbox{dom} N \subset \Gamma(\mathcal{H}) \rightarrow \Gamma(\mathcal{H}), \ \ Nu= (nu_n)_{n \geq 0}$,

gdzie

$\mbox{dom}~ N = \left\{ u \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geq 0} n^2 \|u_n\|^2 < \infty \right\}$.

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na $\Gamma(\mathcal{H})$. Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek $\sqrt{N}$.

Zbiór $\Gamma_{00}(\mathcal{H})$ (zob. przestrzeń skończonej liczby cząstek w artykule przestrzeń Foka) jest dziedziną istotną tego operatora , tzn. operator liczby cząstek jest domknięciem obcięcia operatora $N$ do zbioru $\Gamma_{00}(\mathcal{H})$. W szczególności, dla dowolnej funkcji $f\colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$, operator $f(N)$ jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

$\mbox{dom}~f(N) = \left\{ u \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geq 0} n^2 |f(n)|^2\|u_n\|^2 < \infty \right\}$,

$f(N)u= (f(n)u_n)_{n \geq 0}$.

Średnią operatora liczby cząstek ($\langle n\rangle$) opisują rozkłady statystyczne w mechanice kwantowej:

• Statystyka Bosego-Einsteina w przypadku bozonów
• Statystyka Fermiego-Diraca w przypadku fermionów

Bibliografia

• Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992. ISBN 3764326972. (ang.)
• J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005. ISBN 978-3540244066. (ang.)