Operator liczby cząstek

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Operator liczby cząstek – w mechanice kwantowej, dla układów, w których liczba rozpatrywanych cząstek nie jest znana, operator liniowy (obserwabla) "zliczający" ich liczbę.

Formalnie, jeżeli \mathcal{H} jest przestrzenią Hilberta, to operatorem liczby cząstek N na przestrzeni Foka \Gamma(\mathcal{H}) nazywa się operator

N \colon \mbox{dom}\, N \subset \Gamma(\mathcal{H}) \rightarrow \Gamma(\mathcal{H}), \ \ Nu= (nu_n)_{n = 0}^\infty,

którego dziedziną dom N jest podprzestrzeń liniowa

\left\{ u \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n = 0}^\infty n^2 \|u_n\|^2 < \infty \right\}.

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na \Gamma(\mathcal{H}). Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek \sqrt{N}.

Zbiór \Gamma_{00}(\mathcal{H}) (zob. przestrzeń skończonej liczby cząstek w artykule przestrzeń Foka) jest dziedziną istotną tego operatora , tzn. operator liczby cząstek jest domknięciem obcięcia operatora N do zbioru \Gamma_{00}(\mathcal{H}). W szczególności, dla dowolnej funkcji f\colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}, operator f(N) jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

f(N)u= (f(n)u_n)_{n = 0}^\infty,

gdzie

\mbox{dom}~f(N) = \left\{ u \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n = 0}^\infty n^2 |f(n)|^2\|u_n\|^2 < \infty \right\}.

Średnią operatora liczby cząstek ‹ N › opisują rozkłady statystyczne w mechanice kwantowej:

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992. ISBN 3764326972. (ang.)
  • J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005. ISBN 978-3540244066. (ang.)