Operator nabla w różnych układach współrzędnych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Oto lista kilku formuł analizy wektorowej powszechnie używanych w pracy z różnymi krzywoliniowymi układami współrzędnych.

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

  • Na tej stronie zastosowano standardową notację fizyczną. Dla współrzędnych sferycznych, \theta jest kątem między osią z a wektorem wodzącym łączącym początek układu z rozpatrywanym punktem. \phi jest kątem pomiędzy rzutem wektora wodzącego na płaszyznę xy a osią x. W niektórych źródłach definicje \theta i \phi są zamienione, więc znaczenie należy wywnioskować z kontekstu.
  • Funkcja \operatorname{arctg2}(y, x) używana jest zamiast funkcji matematycznej \operatorname{arctg}(y/x) ze względu na jej dziedzinę i obraz. Obraz klasycznego \operatorname{arctg}(y/x) wynosi (-\pi/2, +\pi/2), podczas gdy \operatorname{arctg2}(y, x) ma z definicji obraz (-\pi, \pi]. (Wyrażenia na operator nabla we współrzędnych sferycznych mogą potrzebować poprawy.)

UWAGA: Zmienne użyte w tej tabeli nie są konsekwentne

Tabela z operatorem nabla we współrzędnych walcowych, sferycznych oraz parabolicznych walcowych
Operacja Współrzędne kartezjańskie (x,y,z) Współrzędne walcowe (\rho,\phi,z) Współrzędne sferyczne (r,\theta,\phi) Współrzędne paraboliczne walcowe (\sigma,\tau,z)
Definicje
współrzędnych
\begin{matrix}
    \rho & = & \sqrt{x^2+y^2} \\
    \phi & = & \operatorname{arctg}(y/x) \\
       z & = & z \end{matrix} \begin{matrix}
    x & = & \rho\cos\phi \\
    y & = & \rho\sin\phi \\
    z & = & z \end{matrix} \begin{matrix}
    x & = & r\sin\theta\cos\phi \\
    y & = & r\sin\theta\sin\phi \\
    z & = & r\cos\theta \end{matrix} \begin{matrix}
    x & = & \sigma \tau\\
    y & = & \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right) \\
    z & = & z \end{matrix}
\begin{matrix}
    r      & = & \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\
    \theta & = & \arccos(z/r)\\
    \phi   & = & \operatorname{arctg}(y/x) \\ \end{matrix} \begin{matrix}
    r      & = & \sqrt{\rho^2 + z^2} \\
    \theta & = & \operatorname{arctg}{(\rho/z)}\\
    \phi   & = & \phi \end{matrix} \begin{matrix}
    \rho & = & r\sin(\theta) \\
    \phi & = & \phi\\
    z    & = & r\cos(\theta) \end{matrix} \begin{matrix}
    \rho\cos\phi & = & \sigma \tau\\
    \rho\sin\phi & = & \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right) \\
    z & = & z \end{matrix}
Definicje
wersorów
\begin{matrix}
    \boldsymbol{\hat \rho} & = &  \frac{x}{\rho}\mathbf{\hat x}+\frac{y}{\rho}\mathbf{\hat y} \\
    \boldsymbol{\hat\phi} & = & -\frac{y}{\rho}\mathbf{\hat x}+\frac{x}{\rho}\mathbf{\hat y} \\
    \mathbf{\hat z}       & = &  \mathbf{\hat z}
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \mathbf{\hat x} & = & \cos\phi\boldsymbol{\hat \rho}-\sin\phi\boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat y} & = & \sin\phi\boldsymbol{\hat \rho}+\cos\phi\boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat z} & = & \mathbf{\hat z}
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \mathbf{\hat x} & = & \sin\theta\cos\phi\boldsymbol{\hat r}+\cos\theta\cos\phi\boldsymbol{\hat\theta}-\sin\phi\boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat y} & = & \sin\theta\sin\phi\boldsymbol{\hat r}+\cos\theta\sin\phi\boldsymbol{\hat\theta}+\cos\phi\boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat z} & = & \cos\theta        \boldsymbol{\hat r}-\sin\theta        \boldsymbol{\hat\theta} \\
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \boldsymbol{\hat \sigma} & = &  \frac{\tau}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat x}-\frac{\sigma}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat y} \\
    \boldsymbol{\hat\tau} & = &  \frac{\sigma}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat x}+\frac{\tau}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat y} \\
    \mathbf{\hat z}       & = &  \mathbf{\hat z}
    \end{matrix}
\begin{matrix}
    \mathbf{\hat r}         & = & \frac{x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y}+z\mathbf{\hat z}}{r} \\
    \boldsymbol{\hat\theta} & = & \frac{xz\mathbf{\hat x}+yz\mathbf{\hat y}-\rho^2\mathbf{\hat z}}{r \rho} \\
    \boldsymbol{\hat\phi}   & = & \frac{-y\mathbf{\hat x}+x\mathbf{\hat y}}{\rho}
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \mathbf{\hat r}         & = & \frac{\rho}{r}\boldsymbol{\hat \rho}+\frac{   z}{r}\mathbf{\hat z} \\
    \boldsymbol{\hat\theta} & = & \frac{z   }{r}\boldsymbol{\hat \rho}-\frac{\rho}{r}\mathbf{\hat z} \\
    \boldsymbol{\hat\phi}   & = & \boldsymbol{\hat\phi}
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \boldsymbol{\hat \rho} & = & \sin\theta\mathbf{\hat r}+\cos\theta\boldsymbol{\hat\theta} \\
    \boldsymbol{\hat\phi} & = & \boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat z}       & = & \cos\theta\mathbf{\hat r}-\sin\theta\boldsymbol{\hat\theta} \\
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \end{matrix}
Pole wektorowe \mathbf{A} A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z} A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} + A_z\boldsymbol{\hat z} A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} A_\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + A_\tau\boldsymbol{\hat \tau} + A_\phi\boldsymbol{\hat z}
Gradient \nabla f {\partial f \over \partial x}\mathbf{\hat x} + {\partial f \over \partial y}\mathbf{\hat y}
  + {\partial f \over \partial z}\mathbf{\hat z} {\partial f \over \partial \rho}\boldsymbol{\hat \rho}
  + {1 \over \rho}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}
  + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z} {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r}
  + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta}
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}  \frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}} {\partial f \over \partial \sigma}\boldsymbol{\hat \sigma} + \frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}} {\partial f \over \partial \tau}\boldsymbol{\hat \tau} + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z}
Dywergencja \nabla \cdot \mathbf{A} {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} {1 \over \rho}{\partial \left( \rho A_\rho  \right) \over \partial \rho}
  + {1 \over \rho}{\partial A_\phi \over \partial \phi}
  + {\partial A_z \over \partial z} {1 \over r^2}{\partial \left( r^2 A_r \right) \over \partial r}
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(  A_\theta\sin\theta \right)
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}  \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\partial \left( A_\sigma \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} \right) \over \partial \sigma} + \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\partial \left( A_\tau \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} \right) \over \partial \tau} + {\partial A_z \over \partial z}
Rotacja \nabla \times \mathbf{A} \begin{matrix}
  \displaystyle\left({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}\right) \mathbf{\hat x} & + \\
  \displaystyle\left({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}\right) \mathbf{\hat y} & + \\
  \displaystyle\left({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}\right) \mathbf{\hat z} & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  \displaystyle\left({1 \over \rho}{\partial A_z \over \partial \phi}
    - {\partial A_\phi \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\
  \displaystyle\left({\partial A_\rho \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial \rho}\right) \boldsymbol{\hat \phi} & + \\
  \displaystyle{1 \over \rho}\left({\partial \left( \rho A_\phi \right) \over \partial \rho}
    - {\partial A_\rho \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  \displaystyle{1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\phi\sin\theta \right)
    - {\partial A_\theta \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r} & + \\
  \displaystyle{1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi}
    - {\partial \over \partial r} \left( r A_\phi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta} & + \\
  \displaystyle{1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)
    - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \phi} & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  \displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}{\partial A_z \over \partial \tau}
    - {\partial A_\tau \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat \sigma} & - \\
  \displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}{\partial A_z \over \partial \sigma}- {\partial A_\sigma \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat \tau} & + \\
  \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}\left({\partial \left( \rho A_\phi \right) \over \partial \rho}
    - {\partial A_\rho \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}
Operator Laplace'a \Delta f = \nabla^2 f {\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2} {1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}\left(\rho {\partial f \over \partial \rho}\right)
  + {1 \over \rho^2}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}
  + {\partial^2 f \over \partial z^2} {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right)
  \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right)
  \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}  \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}
\left(  \frac{\partial^{2} f}{\partial \sigma^{2}} +
\frac{\partial^{2} f}{\partial \tau^{2}} \right) +
\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}
Laplasjan wektorowy \Delta \mathbf{A} = \nabla^2 \mathbf{A} \Delta A_x \mathbf{\hat x} + \Delta A_y \mathbf{\hat y} + \Delta A_z \mathbf{\hat z} \begin{matrix}
  \displaystyle\left(\Delta A_\rho - {A_\rho \over \rho^2}
    - {2 \over \rho^2}{\partial A_\phi \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\
  \displaystyle\left(\Delta A_\phi - {A_\phi \over \rho^2}
    + {2 \over \rho^2}{\partial A_\rho \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat\phi} & + \\
  \displaystyle\left(\Delta A_z \right) \boldsymbol{\hat z}  & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  \left(\Delta A_r - {2 A_r \over r^2}
    - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial \left(A_\theta \sin\theta\right) \over \partial\theta}
    - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r} & + \\
  \left(\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2\sin^2\theta}
    + {2 \over r^2}{\partial A_r \over \partial \theta}
    - {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat\theta} & + \\
  \left(\Delta A_\phi - {A_\phi \over r^2\sin^2\theta}
    + {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi}
    + {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\theta \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat\phi} & \end{matrix}
Różniczka przesunięcia d\mathbf{l} = dx\mathbf{\hat x} + dy\mathbf{\hat y} + dz\mathbf{\hat z} d\mathbf{l} = d\rho\boldsymbol{\hat \rho} + \rho d\phi\boldsymbol{\hat \phi} + dz\boldsymbol{\hat z} d\mathbf{l} = dr\mathbf{\hat r} + rd\theta\boldsymbol{\hat \theta} + r\sin\theta d\phi\boldsymbol{\hat \phi} d\mathbf{l} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\tau\boldsymbol{\hat \tau} + dz\boldsymbol{\hat z}
Różniczki powierzchni \begin{matrix}d\mathbf{S} = &dy\,dz\,\mathbf{\hat x} + \\
&dx\,dz\,\mathbf{\hat y} + \\
&dx\,dy\,\mathbf{\hat z}\end{matrix} \begin{matrix}
d\mathbf{S} = & \rho\, d\phi\, dz\,\boldsymbol{\hat \rho} + \\
& d\rho \,dz\,\boldsymbol{\hat \phi} + \\
& \rho \,d\rho d\phi \,\mathbf{\hat z}
\end{matrix} \begin{matrix}
d\mathbf{S} = & r^2 \sin\theta \,d\theta \,d\phi \,\mathbf{\hat r} + \\
& r\sin\theta \,dr\,d\phi \,\boldsymbol{\hat \theta} + \\
& r\,dr\,d\theta\,\boldsymbol{\hat \phi}
\end{matrix} \begin{matrix}
d\mathbf{S} = & \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}, d\tau\, dz\,\boldsymbol{\hat \sigma} + \\
& \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\sigma\,dz\,\boldsymbol{\hat \tau} + \\
& \sigma^{2} + \tau^{2} d\sigma, d\tau \,\mathbf{\hat z}
\end{matrix}
Różniczka objętości dV = dx\,dy\,dz \, dV = \rho\, d\rho\, d\phi\, dz\, dV = r^2\sin\theta \,dr\,d\theta\, d\phi\, dV = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau dz,
Nietrywialne reguły rachunkowe:
  1. \operatorname{div\ grad\ } f = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f (Laplasjan)
  2. \operatorname{rot\ grad\ } f = \nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}
  3. \operatorname{div\ rot\ } \mathbf{A} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0
  4. \operatorname{rot\ rot\ } \mathbf{A} = \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})
                                                = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A} (stosując formułę Lagrange'a na iloczyn wektorowy)
  5. \Delta f g = f \Delta g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \Delta f

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]