Operator normalny

Operator normalny – operator liniowy i ograniczony N: H → H na przestrzeni Hilberta H, który komutuje ze swoim sprzężeniem $N^*$, tj.

$N N^*= N^* N\,$.

Analogicznie pojęcie elementu normalnego wprowadza się w kontekście *-algebr (w szczególności, C*-algebr) - element a *-algebry A nazywa się normalnym, gdy

$aa^*=a^*a\,$.

Własności

Operatory normalne opisuje twierdzenie spektralne. Operator ograniczony $T$ jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy

$\|Tx\| = \|T^* x\|\;\;(x\in H)$.

Innym warunkiem równoważnym normalności jest równość

$\langle T^*x, T^*y \rangle = \langle Tx, Ty \rangle\;\;(x, y \in H)$.

Operator sprzężony do operatora normalnego jest również normalny: $N$ oraz $N^\star$ mają to samo jądro i obraz. Wynika stąd, że obraz $N$ jest gęsty w H wtedy i tylko wtedy, gdy $N$ jest iniektywny. Poza tym

$\|N^2\| = \|N\|^2$

oraz

$\nu(N) = \|N\|$,

gdzie $\nu(N)$ oznacza promień spektralny operatora N.

Przykłady

Przykładami operatorów normalnych są:

• operatory unitarne ($N^* = N^{-1}$),
• operator samosprzężony ($N^*= N$),
• operatory dodatnie ($N = MM^*$),
• operatory rzutu ortogonalnego ($N = N^*= N^2$),
• macierze normalne mogą być postrzegane jako operatory normalne na n-wymiarowej przestrzeni Hilberta $\mathbb C^n$.

Zobacz też

• operator podnormalny,
• operator quasi-normalny.