Operator normalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Operator normalnyoperator liniowy i ograniczony N: HH na przestrzeni Hilberta H, który komutuje ze swoim sprzężeniem N^*, tj.

N N^*= N^* N\,.

Analogicznie pojęcie elementu normalnego wprowadza się w kontekście *-algebr (w szczególności, C*-algebr) - element a *-algebry A nazywa się normalnym, gdy

aa^*=a^*a\,.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Operatory normalne opisuje twierdzenie spektralne. Operator ograniczony T jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy

\|Tx\| = \|T^* x\|\;\;(x\in H).

Innym warunkiem równoważnym normalności jest równość

\langle T^*x, T^*y \rangle = \langle Tx, Ty \rangle\;\;(x, y \in H).

Operator sprzężony do operatora normalnego jest również normalny: N oraz N^\star mają to samo jądro i obraz. Wynika stąd, że obraz N jest gęsty w H wtedy i tylko wtedy, gdy N jest iniektywny. Poza tym

\|N^2\| = \|N\|^2

oraz

\nu(N) = \|N\|,

gdzie \nu(N) oznacza promień spektralny operatora N.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykładami operatorów normalnych są:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]