Operator pędu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W mechanice kwantowej pęd jest opisywany przez obserwablę - operator pędu. Przejście od pędu do operatora pędu jest nazywane pierwszym kwantowaniem. Matematycznie, operator pędu jest nieograniczonym operatorem samosprzężonym na ośrodkowej przestrzeni Hilberta.

Notacja Diraca[edytuj | edytuj kod]

W notacji Diraca wektor własny operatora pędu \hat{p} z wartością własną p oznacza się |p\rangle , czyli Matematycznie operator pędu nie ma wektorów własnych, gdyż rozwiązanie powyższego równania prowadzi do wniosku iż \langle x|p \rangle =\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left(\frac{i}{\hbar}px\right) \ni \mathcal{L}^2(\mathbb{R}) funkcja ta nie jest całkowalna w kwadracie. Jednak w praktyce jest ona traktowana jako wektor własny przestrzeni Hilberta. Zbiór wszystkich wektorów |p\rangle może być traktowany jak baza ortonormalna, w której \langle k|p\rangle=delta(p-k). Warto tu podkreślić, że matematycznie nie jest to baza, gdyż przestrzeń Hilberta \mathcal{L}^2(\mathbb{R}) jest ośrodkowa, co sprawia, że każda baza ortonormalna musi być przeliczalna, zbiór \{ |p\rangle | p\in \mathbb{R}\} jest zbiorem nieprzeliczalnym. Często ignorowanie tego faktu nie prowadzi do nieprawdziwych wniosków. Formalnie, każde rozumowanie w którym traktowano |p\rangle wymaga osobnej weryfikacji.


\hat{p}|p\rangle=p|p\rangle.

Stąd działanie operatora położenia na dowolny stan możemy zapisać jako

\hat{p}|\psi\rangle=\int\limits^\infty_{-\infty}\frac{dp'}{2\pi\hbar}\hat{p}|p'\rangle\langle p'|\psi\rangle =\int\limits^\infty_{-\infty} \frac{dp'}{2\pi\hbar} p' \psi(p')|p'\rangle ,

gdzie \psi(p')=\langle p'|\psi\rangle jest funkcją falową stanu |\psi\rangle w reprezentacji pędowej.

Reprezentacja położeniowa i pędowa[edytuj | edytuj kod]

Z powyższego wzoru otrzymujemy, że działanie operatora składowej i pędu \hat{p}_{i} w reprezentacji pędowej odpowiada po prostu mnożeniu funkcji falowej przez p_{i}. Natomiast w reprezentacji położeniowej operator składowej i pędu ma postać

\hat{p}_{i} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial {x_{i}}}

Wektorowy operator pędu ma postać:

\bar{p} = -i\hbar\overline{\nabla}

gdzie \overline{\nabla} nazywany jest operatorem nabla (gradientu).

Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu[edytuj | edytuj kod]

Ważną cechą kwantowego operatora pędu jest to, że nie komutuje on z operatorem położenia. Operatory te spełniają relację komutacyjną

[ x_{i}, p_{j} ]= i\hbar \delta_{ij}.

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności. Implikuje ona, że przynajmniej jeden z operatorów x_i,p_i musi być operatorem nieograniczonym.