Operator rzutowy

Operator rzutowy – liniowy i ciągły operator przestrzeni Hilberta, którego złożenie z samym sobą jest dalej nim samym oraz jego obraz jest dopełnieniem ortogonalnym jądra.

Definicja

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Liniowy i ciągły operator $T\colon H\to H$ nazywamy

• operatorem idempotentnym wtedy i tylko wtedy, gdy $T^2=T .$
• operatorem rzutowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest operatorem idempotentnym oraz $(\ker T)^\perp=\operatorname{im}\,T .$

Warunki równoważne

Jeśli $T\colon H\to H$ jest operatorem idempotentym oraz $T\neq 0$, to następujące warunki są równoważne:

1. $T$ jest operatorem rzutowym.
2. $T$ jest operatorem samosprzężonym.
3. $T$ jest operatorem normalnym.
4. $T$ jest operatorem dodatnim.
5. $\|T\|=1 .$

Operator liniowy ciągły $T\colon H\to H$ jest rzutowy wtedy i tylko wtedy, gdy

$T^* T = T.$

Często w mechanice kwantowej, operator rzutowy definiuje się jako operator idempotentny i samosprzężony (definicja równoważna). Spotyka się oznaczenia $p, \hat{p}, P, \hat{P}$, a także

$\rho=\sum_{i} |\psi_i\rangle\langle\psi_i|$

co oznacza rzutowanie na przestrzeń liniową rozpiętą przez elementy $|\psi_i\rangle$, tj. $\operatorname{lin}\{|\psi_i\rangle\colon\; i\in I\} .$

Własności

• Operator rzutowy jest operatorem dodatnim.
• Widmo operatora rzutowego zawiera się w zbiorze $\{0,1\} .$
• Ślad operatora rzutowego jest równy wymiarowi przestrzeni, na którą on rzutuje.

Przykłady

• Jeśli $H$ jest przestrzenią Hilberta, to operator jednostkowy (identyczność) jest rzutowy.
• Operator przestrzeni $\mathbb{R}^3$, reprezentowany przez macierz $\operatorname{diag}(1,1,0)$ jest rzutowy.
• Operator przestrzeni $\mathbb{R}^2$, zadany przez macierz

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ jest idempotentny, ale nie jest samosprzężony.

• Operator liczby cząstek dla fermionów jest operatorem rzutowym.

Bibliografia

• F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.