Operator rzutowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Operator rzutowyliniowy i ciągły operator przestrzeni Hilberta, którego złożenie z samym sobą jest dalej nim samym oraz jego obraz jest dopełnieniem ortogonalnym jądra.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Liniowy i ciągły operator T\colon H\to H nazywamy

  • operatorem idempotentnym wtedy i tylko wtedy, gdy T^2=T .
  • operatorem rzutowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest operatorem idempotentnym oraz (\ker T)^\perp=\operatorname{im}\,T .

Warunki równoważne[edytuj | edytuj kod]

Jeśli T\colon H\to H jest operatorem idempotentym oraz T\neq 0, to następujące warunki są równoważne:

  1. T jest operatorem rzutowym.
  2. T jest operatorem samosprzężonym.
  3. T jest operatorem normalnym.
  4. T jest operatorem dodatnim.
  5. \|T\|=1 .

Operator liniowy ciągły T\colon H\to H jest rzutowy wtedy i tylko wtedy, gdy

T^* T = T.

Często w mechanice kwantowej, operator rzutowy definiuje się jako operator idempotentny i samosprzężony (definicja równoważna). Spotyka się oznaczenia p, \hat{p}, P, \hat{P}, a także

\rho=\sum_{i} |\psi_i\rangle\langle\psi_i|

co oznacza rzutowanie na przestrzeń liniową rozpiętą przez elementy |\psi_i\rangle, tj. \operatorname{lin}\{|\psi_i\rangle\colon\; i\in I\} .

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Operator rzutowy jest operatorem dodatnim.
  • Widmo operatora rzutowego zawiera się w zbiorze \{0,1\} .
  • Ślad operatora rzutowego jest równy wymiarowi przestrzeni, na którą on rzutuje.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli H jest przestrzenią Hilberta, to operator jednostkowy (identyczność) jest rzutowy.
  • Operator przestrzeni \mathbb{R}^3, reprezentowany przez macierz \operatorname{diag}(1,1,0) jest rzutowy.
  • Operator przestrzeni \mathbb{R}^2, zadany przez macierz


\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
jest idempotentny, ale nie jest samosprzężony.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.