Operator sprzężony (przestrzenie Hilberta)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Operator sprzężony (czasami: sprzężenie hermitowskie operatora) – w teorii przestrzeni Hilberta dla danego operatora (liniowego, ograniczonego)

T\colon \mathcal{H}_1\to \mathcal{H}_2,

gdzie \mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 są przestrzeniami Hilberta operator liniowy

T^*\colon \mathcal{H}_2\to \mathcal{H}_1

spełniający warunek

\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^* y\rangle\;\;\;(x \in \mathcal{H}_1, y \in \mathcal{H}_2).

Z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału wynika, że powyższy warunek wyznacza operator T^* jednoznacznie.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2, \mathcal{H}_3 będą przestrzeniami Hilberta oraz niech

T, T_1, T_2\colon \mathcal{H}_1 \to \mathcal{H}_2,\, U\colon \mathcal{H}_2 \to \mathcal{H}_3

będą operatorami liniowymi i ciągłymi.

  • Operator liniowy T^* jest ograniczony (ciągły) oraz
    • \|T^*\| = \|T\|,
    • (T^*)^* = T\,,
    • \|TT^*\| = \|T\|^2 = \|T^* T\|.
  • Jeżeli T jest izomorfizmem, to również T^* jest izomorfizmem.
  • (UT)^* = T^* U^*.
  • Jeżeli T jest suriektywny, to T^* jest iniektywny.
  • Jeżeli T jest iniektywny, to obraz operatora T^* jest gęsty w \mathcal{H}_1, tzn.
    \overline{T^*(\mathcal{H}_2)} = \mathcal{H}_1.
  • Jeżeli \lambda jest skalarem, to
    (\lambda T_1 + T_2)^* = \overline\lambda T_1^* + T_2^*\,.
  • Jeżeli \mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 są skończenie wymiarowe, to operator T jest reprezentowany przez macierz (T_{ij}). Wówczas, operator sprzężony do T reprezentowany jest przez macierz sprzężoną hermitowsko z (T_{ij}).

Operator samosprzężony[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: operator samosprzężony.

Operator liniowy T\colon \mathcal{H} \to \mathcal{H} nazywany jest samosprzężonym, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj. T = T^*. Twierdzenie Helligenra-Toeplitza mówi, że każdy operator samosprzężony, określony na całej przestrzeni Hlberta jest ograniczony. W ogólności zachodzi potrzeba zdefiniowania operatorów (np. opertatory położenia i pędu w mechanice kwantowej) samosprzężonych nieograniczonych. Z konieczności nie są one określone na całej przestrzeni Hilberta, a jedynie na podprzestrzeni D(A)\subset \mathcal{H}.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

W mechanice kwantowej operatory hermitowskie są używane do reprezentacji wielkości fizycznych i nazywane są obserwablami ("wielkościami, które można obserwować"). Na przykład, pęd i energia w mechanice kwantowej przestają być, odpowiednio, wektorem i skalarem jak w teorii klasycznej, a stają się operatorami na pewnej przestrzeni Hilberta.