Operator zwarty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Operator zwarty (operator pełnociągły) – operator liniowy między przestrzeniami Banacha przeprowadzający ograniczone podzbiory dziedziny na warunkowo zwarte podzbiory przeciwdziedziny. Innymi słowy, operator zwarty to operator mający tę własność, że domknięcie obrazu zbioru ograniczonego jest zwarte. Każdy operator zwarty jest automatycznie ograniczony.

Równoważnie, jeżeli T: EF jest operatorem ograniczonym przekształcającym przestrzeń Banacha E w F, to jest on zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ograniczonego ciągu (xn) punktów przestrzeni E ciąg (Txn) zawiera podciąg zbieżny, a to jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy domknięcie obrazu kuli jednostkowej przestrzeni E jest zwartym podzbiorem F.

Podstawowe fakty[edytuj | edytuj kod]

Dalej, symbol E oznacza ustaloną przestrzeń Banacha, B(E) oznacza algebrę Banacha wszystkich operatorów ograniczonych na E oraz K(E) oznacza rodzinę wszystkich operatorów zwartych na E.

  • Operator identycznościowy na E jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń E jest skończenie wymiarowa.
  • Twierdzenie Schaudera: Jeżeli F jest przestrzenią Banacha, to operator T: EF jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony T*: F*E* jest zwarty.
  • K(E) jest domkniętym ideałem dwustronnym algebry B(E) (a więc jest, w szczególności, podprzestrzenią liniową). Algebra B(E) / K(E) nazywana jest algebrą Calkina przestrzeni E. Twierdzenie Calkina mówi, że jeżeli H jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to K(H) jest jedynym domkniętym nietrywialnym ideałem B(H)[1].
  • Widmo operatora zwartego na zespolonej przestrzeni Banacha jest co najwyżej przeliczalne i jego jedynym punktem skupienia może być 0. Ponadto dla operatorów zwartych zachodzi alternatywa Fredholma.
  • Ideał operatorów zwartych jest jedynym ideałem maksymalnym w B(E) w przypadku, gdy E jest przestrzenią c0 bądź E jest przestrzenią ℓp dla 1 ≤ p < ∞. Spiros Argyros i Richard Haydon[2] podali przykład przestrzeni Banacha E z bazą Schaudera o tej własności, że przestrzeń sprzężona E* jest izomorficzna z ℓ1 oraz każdy operator ograniczony T na E jest postaci T = cI + S, gdzie c jest pewnym skalarem, a S jest operatorem zwartym na E. Innymi słowy, ideał operatorów zwartych jest kowymiaru 1 w B(E).

Przypisy

  1. J. W. Calkin, Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space, Annals of Math. 42 (1941), 839–873.
  2. S. A. Argyros, R. G. Haydon, A hereditarily indecomposable \scriptstyle{\mathcal{L}_\infty}-space that solves the scalar-plus-compact problem. Acta Mathematica 206 (2011), 1–54.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]