Operatory kreacji i anihilacji

Operatory kreacji i anihilacji – operatory stosowane w drugiej kwantyzacji zdefiniowane i działające w przestrzeni Foka (Focka) na stany wielocząstkowe. Operatory te oznaczane są jako:

• $\hat{a}^{\dagger}$ - operator kreacji - przenosi stany z przestrzeni N do N + 1 cząstkowej
• $\hat{a}$ - operator anihilacji - przenosi stany z przestrzeni N do N - 1 cząstkowej

Definiując zbiór operatorów kreacji i anihilacji, wraz z odpowiednimi relacjami komutacji (antykomutacji) i stanem próżni, otrzymujmy zbiór stanów wielocząstkowych, otrzymanych jako wynik działania operatorów na stan próżni, które są bazą przestrzeni izomorficznej z przestrzenią Focka (co jest jedną z możliwych definicji przestrzeni Focka).

Reguły komutacji

Operatory kreacji i anihilacji spełniają następujące relacje komutacyjne (antykomutacyjne):

$[\hat{a} _{i}, \hat{a} _{j}]_{\xi} = 0$

$[\hat{a} ^{\dagger} _{i}, \hat{a} ^{\dagger} _{j}]_{\xi} = 0$

$[\hat{a} _{i}, \hat{a} _{j} ^{\dagger}]_{\xi} = \delta _{ij}$

gdzie:

$[A,B]_{\xi} = AB - \xi BA$ to komutator/antykomutator w zależności od ξ = 1 dla bozonów oraz ξ = -1 dla fermionów (wtedy powyższe wzory definiują reguły antykomutacji).

Działanie w reprezentacji drugiej kwantyzacji

Wektory $|k \rangle$ należą do przestrzeni Foka.

$\hat{a} |n \rangle = \sqrt{n}|n-1 \rangle$

$\hat{a} ^{\dagger} |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1 \rangle$

Zachodzi:

$\langle n| \hat{a} = \langle n+1| \sqrt{n+1}$

$\langle n| \hat{a} ^{\dagger} = \langle n-1| \sqrt{n}$