Operatory kreacji i anihilacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Operatory kreacji i anihilacjioperatory stosowane w drugiej kwantyzacji zdefiniowane i działające w przestrzeni Foka (Focka) na stany wielocząstkowe. Operatory te oznaczane są jako:

  • \hat{a}^{\dagger} - operator kreacji - przenosi stany z przestrzeni N do N + 1 cząstkowej
  • \hat{a} - operator anihilacji - przenosi stany z przestrzeni N do N - 1 cząstkowej

Definiując zbiór operatorów kreacji i anihilacji, wraz z odpowiednimi relacjami komutacji (antykomutacji) i stanem próżni, otrzymujemy zbiór stanów wielocząstkowych, otrzymanych jako wynik działania operatorów na stan próżni, które są bazą przestrzeni izomorficznej z przestrzenią Focka (co jest jedną z możliwych definicji przestrzeni Focka).

Reguły komutacji[edytuj | edytuj kod]

Operatory kreacji i anihilacji spełniają następujące relacje komutacyjne (antykomutacyjne):

[\hat{a} _{i}, \hat{a} _{j}]_{\xi} = 0
[\hat{a} ^{\dagger} _{i}, \hat{a} ^{\dagger} _{j}]_{\xi} = 0
[\hat{a} _{i}, \hat{a} _{j} ^{\dagger}]_{\xi} = \delta _{ij}

gdzie:

 [A,B]_{\xi} = AB - \xi BA to komutator/antykomutator w zależności od ξ = 1 dla bozonów oraz ξ = -1 dla fermionów (wtedy powyższe wzory definiują reguły antykomutacji).

Działanie w reprezentacji drugiej kwantyzacji[edytuj | edytuj kod]

Wektory |k \rangle należą do przestrzeni Foka.

 \hat{a} |n \rangle = \sqrt{n}|n-1 \rangle
 \hat{a} ^{\dagger} |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1 \rangle

Zachodzi:

 \langle n| \hat{a} = \langle n+1| \sqrt{n+1}
 \langle n| \hat{a} ^{\dagger} = \langle n-1| \sqrt{n}