Opisowa teoria mnogości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Opisowa teoria mnogości – poddziedzina teorii mnogości poświęcona badaniom definiowalnych podzbiorów przestrzeni polskich. Rozwinęła się w pierwszej połowie XX wieku na styku teorii funkcji rzeczywistych, topologii, teorii miary i logiki matematycznej.

W klasyfikacji MSC 2000 badań naukowych w matematyce (prowadzonej przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne) opisowa teoria mnogości oznaczana jest kodem 03E15.

Klasycznymi źródłami informacji w tej dziedzinie matematyki są monografie Yiannisa Moschovakisa[1] oraz Aleksandra Kechrisa[2]. Z literatury dostępnej w języku polskim należy wymienić monografię Kazimierza Kuratowskiego i Andrzeja Mostowskiego[3], a także książkę Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego[4].

Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich[edytuj | edytuj kod]

Podstawowymi klasami zbiorów badanych w klasycznej opisowej teorii mnogości są zbiory borelowskie oraz szersza klasa zbiorów rzutowych i ich efektywne wersje. Własności tych klas mogą być interesujące nawet dla matematyków nastawionych na skrajną konstruowalność.

Funkcje rozważane w opisowej teorii mnogości są zwykle mierzalne względem σ-ciała zbiorów borelowskich (czyli są to funkcje borelowskie). Wśród funkcji borelowskich wyróżnia się izomorfizmy borelowskie, czyli bijekcje pomiędzy przestrzeniami polskimi, które są borelowskie i dla których funkcja odwrotna też jest borelowska. Powiązanymi (i badanymi) klasami funkcji są też klasy Baire'a.

Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne, co więcej - każda przestrzeń polska jest ciągłym różnowartościowym obrazem domkniętego podzbioru przestrzeni Baire'a {\mathcal N}. Często dowody przeprowadza się właśnie w przestrzeni Baire'a {\mathcal N} (która jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych), ale rozważania są też prowadzone w innych doskonałych przestrzeniach polskich i każdą z nich traktuje się jak prostą rzeczywistą. To podejście pozwala zawsze ustalić taką przestrzeń, dla której nasz dowód jest najbardziej elegancki, a jednocześnie pozwala formułować twierdzenia tak, że mówią o najbardziej popularnym obiekcie w matematyce: prostej.

Przypomnijmy definicje klas borelowskich i rzutowych. Niech X będzie przestrzenią polską.

Borelowskie podzbiory X

Przez indukcję po liczbach porządkowych 0<\alpha<\omega_1 definiujemy rodziny \Sigma^0_\alpha(X)=\Sigma^0_\alpha, \Pi^0_\alpha(X)=\Pi^0_\alpha oraz \Delta^0_\alpha(X)=\Delta^0_\alpha podzbiorów przestrzeni X:

  • \Sigma^0_1 jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów X, \Pi^0_1, to rodzina wszystkich dopełnień zbiorów z \Sigma^0_1 (czyli jest to rodzina zbiorów domkniętych). Ponadto kładziemy \Delta^0_1=\Sigma^0_1\cap \Pi^0_1, czyli \Delta^0_1 jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów X.
  • Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już \Sigma^0_\beta,\Pi^0_\beta,\Delta^0_\beta dla 0<\beta<\alpha. Określamy:
\Sigma^0_\alpha jest rodziną wszystkich zbiorów postaci A=\bigcup\limits_{n=0}^\infty A_n, gdzie A_n\in \bigcup\limits_{\beta<\alpha}\Pi^0_\beta (dla wszystkich n),
\Pi^0_\alpha jest rodziną wszystkich zbiorów A\subseteq X takich, że X\setminus A\in \Sigma^0_\alpha,
\Delta^0_\alpha=\Sigma^0_\alpha\cap \Pi^0_\alpha.

Elementy rodziny \bigcup_{\alpha<\omega_1}\Sigma^0_\alpha(X) nazywamy borelowskimi podzbiorami przestrzeni X.

Rzutowe podzbiory X

Przez indukcję po liczbach naturalnych n\in {\mathbb N} klasy \Sigma^1_n(X)=\Sigma^1_n oraz \Pi^1_n(X)=\Pi^1_n:

  • \Sigma^1_1 jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego B\subseteq X\times{\mathcal N} mamy A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\},
  • \Pi^1_1 jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że X\setminus A\in \Sigma^1_1,
  • \Sigma^1_{n+1} jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego B\in\Pi^1_n(X\times{\mathcal N}) mamy A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\},
  • \Pi^1_{n+1} jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że X\setminus A\in \Sigma^1_{n+1}.

Definiujemy również \Delta^1_n(X)=\Sigma^1_n(X)\cap \Pi^1_n(X).

Elementy rodziny \bigcup_{n<\omega}\Sigma^1_n(X) nazywamy rzutowymi podzbiorami przestrzeni X.

Wybrane własności klas punktowych[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią polską.

  • Zachodzą następujące inkluzje (gdzie "\subseteq" jest reprezentowane przez strzałkę "\longrightarrow"):
\Sigma^0_\alpha \Sigma^0_\beta
\nearrow \searrow \nearrow \searrow
\Delta^0_\alpha \Delta^0_\beta \Delta^0_{\beta+1}
\searrow \nearrow \searrow \nearrow
\Pi^0_\alpha \Pi^0_\beta

   dla wszystkich \alpha<\beta<\omega_1 oraz

\Sigma^1_1 \Sigma^1_2 \ldots \Sigma^1_n \Sigma^1_{n+1} \ldots
\nearrow \searrow \nearrow \searrow \nearrow \searrow \nearrow
\Delta^1_1 \Delta^1_2 \Delta^1_3 \ldots \Delta^1_n \Delta^1_{n+1}
\searrow \nearrow \searrow \nearrow \searrow \nearrow \searrow
\Pi^1_1 \Pi^1_2 \ldots \Pi^1_n \Pi^1_{n+1} \ldots
  • Jeśli przestrzeń X jest nieprzeliczalna, to wszystkie inkluzje powyżej są właściwe.
  • \Delta^1_1(X) jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni X. Jest to σ-ciało podzbiorów X.
  • Ciągły różnowartościowy obraz borelowskiego podzbioru przestrzeni polskiej jest zbiorem borelowskim.
  • Każdy zbiór klasy \Sigma^1_2 jest sumą \aleph_1 zbiorów borelowskich.
  • Twierdzenie uniformizacyjne Kondo-Nowikowa: Jeśli X,Y są przestrzeniami polskimi oraz A\in\Pi^1_1(X\times Y), to można wybrać zbiór B\in \Pi^1_1(X\times Y) zawarty w A i taki, że dla wszystkich x\in X
(\exists y\in Y)((x,y)\in A)\ \Leftrightarrow\ (\exists ! y\in Y)((x,y)\in B).

(Powyżej kwantyfikator \exists ! oznacza istnieje dokładnie jeden).

Regularność klas punktowych[edytuj | edytuj kod]

Pytania dotyczące regularności klas punktowych są w centrum zainteresowań opisowej teorii mnogości. Regularność może mieć wiele znaczeń i może odnosić się do mierzalności w sensie Lebesgue'a, własności Baire'a, własności Ramseya, własności zbioru doskonałego i innych własności tego typu. Przykładowe twierdzenia dotyczące tej tematyki to:

  • wszystkie zbiory klasy \Sigma^1_1 mają własność Baire'a i są mierzalne w sensie Lebesgue'a,
  • każdy zbiór klasy \Sigma^1_1 jest albo przeliczalny, albo zawiera podzbiór doskonały,
  • każdy \Sigma^1_1 podzbiór przestrzeni [\omega]^\omega nieskończonych podzbiorów \omega ma własność Ramseya,
  • jeśli wszystkie zbiory klasy \Sigma^1_2 są mierzalne, to wszystkie zbiory klasy \Sigma^1_2 mają własność Baire'a,
  • jeśli założymy aksjomat determinacji rzutowej PD, to wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire'a i są mierzalne w sensie Lebesgue'a oraz każdy nieprzeliczlany zbiór rzutowy zawiera podzbiór doskonały,
  • jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to istnieje \Delta^1_2 podzbiór prostej, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i który nie ma własności Baire'a, oraz istnieje nieprzeliczalny zbiór klasy \Pi^1_1, który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

Dla szerszego przeglądu tej tematyki odsyłamy czytelnika do monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha[5].

Definiowalne relacje równoważności[edytuj | edytuj kod]

W ostatnich latach kluczowe badania dotyczą definiowalnych relacji równoważności oraz działań grup (przede wszystkim grup polskich, tzn. grup topologicznych będących przestrzeniami polskimi)[6].

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech X,Y będą przestrzeniami polskimi.

  • Relacja E na przestrzeni X jest borelowska (analityczna, itd.), jeśli jest ona borelowskim (analitrycznym, itd) podzbiorem przestrzeni X\times X.
  • Przypuśćmy, że E jest relacją równoważności na X, a F jest relacją równoważności na Y. Powiemy, że relacja E jest borelowsko redukowalna do F, jeśli istnieje funkkcja borelowska f:X\longrightarrow Y taka, że
\Big(\forall x,y\in X\Big)\Big(x\;E\;y\ \ \Leftrightarrow\ \ f(x)\;F\;f(y)\Big).
W powyższej sytuacji piszemy E\leqslant_B F.
Relacja borelowskiej redukcji \leqslant_B jest konceptualnie bliska pojęciu bycia mocy nie większej niż. Jeśli E\leqslant_B F, to mamy "świadka" na nierówność  |X/E|\leqslant |Y/F|, który może być "podniesiony" do borelowskiego odwzorowanika z X do Y.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

Przy badaniu definiowalnych relacji równoważności utożsamia się każdą przestrzeń polską z relacją równości określonej na tej przestrzeni. Zwyczajowo też używa się symbolu E_0 na oznaczenie następującej relacji na liczbach rzeczywistych:

x\; E_0\; y wtedy i tylko wtedy, gdy różnica x-y jest liczbą wymierną.
  • {\mathbb R}<_B E_0 (tzn, {\mathbb R}\leqslant _B E_0, ale E_0\not\leqslant_B {\mathbb R}).
  • Jeśli E jest relacją równoważności klasy \Pi^1_1, to
albo E\leqslant_B {\mathbb N} lub {\mathbb R}\leqslant_B E
  • Jeśli E jest borelowską relacją równoważności, to
albo E\leqslant_B {\mathbb R} lub E_0\leqslant_B E
  • Dla każdej borelowskiej relacji równoważności E istnieje borelowska relacja równoważności F taka, że E<_B F.
  • Wśród borelowskich relacji równoważności o przeliczalnych klasach abstrakcji istnieje element \leqslant_B-największy. W tej samej rodzinie relacji można wybrać nieprzeliczalnie wiele parami \leqslant_B-nieporównywalnych relacji.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Yiannis N Moschovakis: Descriptive set theory. Amsterdam-New York: North-Holland Publishing Co., 1980, seria: Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 100. ISBN 0-444-85305-7.
  2. Alexander S Kechris: Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.
  3. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Monografie Matematyczne, 27.
  4. Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: 1978.
  5. Tomek Bartoszyński, Haim Judah: Set theory. On the structure of the real line. Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 1995. ISBN 1-56881-044-X.
  6. Alexander S Kechris. New directions in descriptive set theory. „Bull. Symbolic Logic”. 5, s. 161-174, 1999.