Opisowa teoria mnogości

Opisowa teoria mnogości – poddziedzina teorii mnogości poświęcona badaniom definiowalnych podzbiorów przestrzeni polskich. Rozwinęła się w pierwszej połowie XX wieku na styku teorii funkcji rzeczywistych, topologii, teorii miary i logiki matematycznej.

W klasyfikacji MSC 2000 badań naukowych w matematyce (prowadzonej przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne) opisowa teoria mnogości oznaczana jest kodem 03E15.

Klasycznymi źródłami informacji w tej dziedzinie matematyki są monografie Yiannisa Moschovakisa oraz Aleksandra Kechrisa. Z literatury dostępnej w języku polskim należy wymienić monografię Kazimierza Kuratowskiego i Andrzeja Mostowskiego, a także książkę Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego.

Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich

Podstawowymi klasami zbiorów badanych w klasycznej opisowej teorii mnogości są zbiory borelowskie oraz szersza klasa zbiorów rzutowych i ich efektywne wersje. Własności tych klas mogą być interesujące nawet dla matematyków nastawionych na skrajną konstruowalność.

Funkcje rozważane w opisowej teorii mnogości są zwykle mierzalne względem σ-ciała zbiorów borelowskich (czyli są to funkcje borelowskie). Wśród funkcji borelowskich wyróżnia się izomorfizmy borelowskie, czyli bijekcje pomiędzy przestrzeniami polskimi, które są borelowskie i dla których funkcja odwrotna też jest borelowska. Powiązanymi (i badanymi) klasami funkcji są też klasy Baire'a.

Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne, co więcej - każda przestrzeń polska jest ciągłym różnowartościowym obrazem domkniętego podzbioru przestrzeni Baire'a ${\mathcal N}$. Często dowody przeprowadza się właśnie w przestrzeni Baire'a ${\mathcal N}$ (która jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych), ale rozważania są też prowadzone w innych doskonałych przestrzeniach polskich i każdą z nich traktuje się jak prostą rzeczywistą. To podejście pozwala zawsze ustalić taką przestrzeń, dla której nasz dowód jest najbardziej elegancki, a jednocześnie pozwala formułować twierdzenia tak, że mówią o najbardziej popularnym obiekcie w matematyce: prostej.

Przypomnijmy definicje klas borelowskich i rzutowych. Niech X będzie przestrzenią polską.

Borelowskie podzbiory X

Przez indukcję po liczbach porządkowych $0<\alpha<\omega_1$ definiujemy rodziny $\Sigma^0_\alpha(X)=\Sigma^0_\alpha$, $\Pi^0_\alpha(X)=\Pi^0_\alpha$ oraz $\Delta^0_\alpha(X)=\Delta^0_\alpha$ podzbiorów przestrzeni X:

• $\Sigma^0_1$ jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów X, $\Pi^0_1$, to rodzina wszystkich dopełnień zbiorów z $\Sigma^0_1$ (czyli jest to rodzina zbiorów domkniętych). Ponadto kładziemy $\Delta^0_1=\Sigma^0_1\cap \Pi^0_1$, czyli $\Delta^0_1$ jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów X.
• Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już $\Sigma^0_\beta,\Pi^0_\beta,\Delta^0_\beta$ dla $0<\beta<\alpha$. Określamy:

$\Sigma^0_\alpha$ jest rodziną wszystkich zbiorów postaci $A=\bigcup\limits_{n=0}^\infty A_n$, gdzie $A_n\in \bigcup\limits_{\beta<\alpha}\Pi^0_\beta$ (dla wszystkich n),

$\Pi^0_\alpha$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\subseteq X$ takich, że $X\setminus A\in \Sigma^0_\alpha$,

$\Delta^0_\alpha=\Sigma^0_\alpha\cap \Pi^0_\alpha$.

Elementy rodziny $\bigcup_{\alpha<\omega_1}\Sigma^0_\alpha(X)$ nazywamy borelowskimi podzbiorami przestrzeni $X$.

Rzutowe podzbiory X

Przez indukcję po liczbach naturalnych $n\in {\mathbb N}$ klasy $\Sigma^1_n(X)=\Sigma^1_n$ oraz $\Pi^1_n(X)=\Pi^1_n$:

• $\Sigma^1_1$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X\times{\mathcal N}$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\}$,
• $\Pi^1_1$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że $X\setminus A\in \Sigma^1_1$,
• $\Sigma^1_{n+1}$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego $B\in\Pi^1_n(X\times{\mathcal N})$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\}$,
• $\Pi^1_{n+1}$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że $X\setminus A\in \Sigma^1_{n+1}$.

Definiujemy również $\Delta^1_n(X)=\Sigma^1_n(X)\cap \Pi^1_n(X)$.

Elementy rodziny $\bigcup_{n<\omega}\Sigma^1_n(X)$ nazywamy rzutowymi podzbiorami przestrzeni $X$.

Wybrane własności klas punktowych

Niech X będzie przestrzenią polską.

• Zachodzą następujące inkluzje (gdzie "$\subseteq$" jest reprezentowane przez strzałkę "$\longrightarrow$"):

$\Sigma^0_\alpha$

$\Sigma^0_\beta$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\Delta^0_\alpha$

$\Delta^0_\beta$

$\Delta^0_{\beta+1}$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\Pi^0_\alpha$

$\Pi^0_\beta$

   dla wszystkich $\alpha<\beta<\omega_1$ oraz

$\Sigma^1_1$

$\Sigma^1_2$

$\ldots$

$\Sigma^1_n$

$\Sigma^1_{n+1}$

$\ldots$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\Delta^1_1$

$\Delta^1_2$

$\Delta^1_3$

$\ldots$

$\Delta^1_n$

$\Delta^1_{n+1}$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\Pi^1_1$

$\Pi^1_2$

$\ldots$

$\Pi^1_n$

$\Pi^1_{n+1}$

$\ldots$

• Jeśli przestrzeń X jest nieprzeliczalna, to wszystkie inkluzje powyżej są właściwe.
• $\Delta^1_1(X)$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni X. Jest to σ-ciało podzbiorów X.
• Ciągły różnowartościowy obraz borelowskiego podzbioru przestrzeni polskiej jest zbiorem borelowskim.
• Każdy zbiór klasy $\Sigma^1_2$ jest sumą $\aleph_1$ zbiorów borelowskich.
• Twierdzenie uniformizacyjne Kondo-Nowikowa: Jeśli $X,Y$ są przestrzeniami polskimi oraz $A\in\Pi^1_1(X\times Y)$, to można wybrać zbiór $B\in \Pi^1_1(X\times Y)$ zawarty w $A$ i taki, że dla wszystkich $x\in X$

$(\exists y\in Y)((x,y)\in A)\ \Leftrightarrow\ (\exists ! y\in Y)((x,y)\in B)$.

(Powyżej kwantyfikator $\exists !$ oznacza istnieje dokładnie jeden).

Regularność klas punktowych

Pytania dotyczące regularności klas punktowych są w centrum zainteresowań opisowej teorii mnogości. Regularność może mieć wiele znaczeń i może odnosić się do mierzalności w sensie Lebesgue'a, własności Baire'a, własności Ramseya, własności zbioru doskonałego i innych własności tego typu. Przykładowe twierdzenia dotyczące tej tematyki to:

• wszystkie zbiory klasy $\Sigma^1_1$ mają własność Baire'a i są mierzalne w sensie Lebesgue'a,
• każdy zbiór klasy $\Sigma^1_1$ jest albo przeliczalny, albo zawiera podzbiór doskonały,
• każdy $\Sigma^1_1$ podzbiór przestrzeni $[\omega]^\omega$ nieskończonych podzbiorów $\omega$ ma własność Ramseya,
• jeśli wszystkie zbiory klasy $\Sigma^1_2$ są mierzalne, to wszystkie zbiory klasy $\Sigma^1_2$ mają własność Baire'a,
• jeśli założymy aksjomat determinacji rzutowej PD, to wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire'a i są mierzalne w sensie Lebesgue'a oraz każdy nieprzeliczlany zbiór rzutowy zawiera podzbiór doskonały,
• jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to istnieje $\Delta^1_2$ podzbiór prostej, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i który nie ma własności Baire'a, oraz istnieje nieprzeliczalny zbiór klasy $\Pi^1_1$, który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

Dla szerszego przeglądu tej tematyki odsyłamy czytelnika do monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha.

Definiowalne relacje równoważności

W ostatnich latach kluczowe badania dotyczą definiowalnych relacji równoważności oraz działań grup (przede wszystkim grup polskich, tzn. grup topologicznych będących przestrzeniami polskimi).

Definicje

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami polskimi.

• Relacja E na przestrzeni X jest borelowska (analityczna, itd.), jeśli jest ona borelowskim (analitrycznym, itd) podzbiorem przestrzeni $X\times X$.
• Przypuśćmy, że E jest relacją równoważności na X, a F jest relacją równoważności na Y. Powiemy, że relacja E jest borelowsko redukowalna do F, jeśli istnieje funkkcja borelowska $f:X\longrightarrow Y$ taka, że

$\Big(\forall x,y\in X\Big)\Big(x\;E\;y\ \ \Leftrightarrow\ \ f(x)\;F\;f(y)\Big)$.

W powyższej sytuacji piszemy $E\leqslant_B F$.

Relacja borelowskiej redukcji $\leqslant_B$ jest konceptualnie bliska pojęciu bycia mocy nie większej niż. Jeśli $E\leqslant_B F$, to mamy "świadka" na nierówność $|X/E|\leqslant |Y/F|$, który może być "podniesiony" do borelowskiego odwzorowanika z X do Y.

• Jeśli $E\leqslant_B F$ oraz $F\leqslant_B E$, to powiemy, że przestrzenie ilorazowe $X/E$ i $Y/F$ mają tę samą moc borelowską . Piszemy wówczas $E\sim_B F$.

Podstawowe własności

Przy badaniu definiowalnych relacji równoważności utożsamia się każdą przestrzeń polską z relacją równości określonej na tej przestrzeni. Zwyczajowo też używa się symbolu $E_0$ na oznaczenie następującej relacji na liczbach rzeczywistych:

$x\; E_0\; y$ wtedy i tylko wtedy, gdy różnica $x-y$ jest liczbą wymierną.

• ${\mathbb R}<_B E_0$ (tzn, ${\mathbb R}\leqslant _B E_0$, ale $E_0\not\leqslant_B {\mathbb R}$).
• Jeśli E jest relacją równoważności klasy $\Pi^1_1$, to

albo $E\leqslant_B {\mathbb N}$ lub ${\mathbb R}\leqslant_B E$

• Jeśli E jest borelowską relacją równoważności, to

albo $E\leqslant_B {\mathbb R}$ lub $E_0\leqslant_B E$

• Dla każdej borelowskiej relacji równoważności E istnieje borelowska relacja równoważności F taka, że $E<_B F$.
• Wśród borelowskich relacji równoważności o przeliczalnych klasach abstrakcji istnieje element $\leqslant_B$-największy. W tej samej rodzinie relacji można wybrać nieprzeliczalnie wiele parami $\leqslant_B$-nieporównywalnych relacji.

Zobacz też

• zbiór typu F-sigma
• zbiór typu G-delta
• zbiory analityczne
• gry nieskończone
• uniwersum konstruowalne