Orientacja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Układ lewoskrętny (po lewej) i prawoskrętny

Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.

Orientacja rzeczywistej przestrzeni liniowej to podział baz uporządkowanych na „dodatnio” zorientowane i „ujemnie” zorientowane. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dwie możliwe orientacje baz nazywa się prawoskrętną i lewoskrętną (zob. reguła prawej dłoni). Jednakże wybór orientacji jest niezależny od skrętności bazy (chociaż o bazach prawoskrętnych mówi się zwykle, że są zorientowane dodatnio, można jednak przypisać im orientację ujemną).

Przestrzeń liniowa[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie n-wymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową, zaś układy wektorów a_1, \dots, a_n oraz b_1, \dots, b_n jej bazami algebraicznymi. Macierz przejścia P_{ab} od bazy (a_i) do (b_i) jest nieosobliwa. Oczywiście macierzą przejścia P_{ba} od bazy (b_i) do (a_i) jest macierz do niej odwrotna. Obie te macierze posiadają wyznacznik tego samego znaku.

Bazy (a_i), (b_i) przestrzeni Xzgodnie zorientowane, jeżeli wyznacznik macierzy przejścia P_{ab} jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są przeciwnie zorientowane. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni X jest relacją równoważności, zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na klasy abstrakcji nazywane orientacjami tej przestrzeni. Jeżeli (a_i) jest ustaloną bazą X, to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą -a_1, a_2, \dots, a_n. Jeżeli \tau jest orientacją X, to jej drugą orientację nazywamy przeciwną względem \tau i oznaczamy -\tau.

Parę (X, \tau), czyli przestrzeń liniową X wraz z ustaloną jej orientacją \tau nazywa się przestrzenią zorientowaną. Orientację przestrzeni \mathbb R^n wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako orientację dodatnią, zaś przeciwną względem niej – orientacją ujemną.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Birkolc Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.