Ortonormalność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Ortonormalnośćortogonalność wraz z dodanym warunkiem unormowania, tzn. wymagania, aby elementy ortogonalne miały długość jednostkową (były wersorami). Jest to podstawowa własność wektorów bazy ortonormalnej danej przestrzeni unitarnej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Wektory x, y przestrzeni unitarnej X z iloczynem skalarnym \langle \cdot, \cdot\rangleortonormalne, jeżeli

\langle x, y\rangle = \begin{cases} 0, & x \ne y \\ 1, & x = y \end{cases}

Zbiór wektorów parami ortonormalnych \{v_i\}_{i=1}^n nazywa się układem ortonormalnym, wtedy też

\langle v_i, v_j\rangle = \delta_{ij},

gdzie ostatni symbol nazywa się czasami deltą Kroneckera.

Ortonormalizacja[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dany jest układ wektorów ortogonalnych \{v_i\}_{i=1}^n, to można go przekształcić do układu ortonormalnego \{w_i\}_{i=1}^n za pomocą transformacji

w_{i} = \frac{v_i}{\sqrt{\langle v_i, v_i\rangle}} = \frac{v_{i}}{\|v_i\|}.

Powyższa operacja nazywana bywa również unormowaniem ortogonalnego układu wektorów.

Funkcje ortonormalne[edytuj | edytuj kod]

Podobnie jak dla funkcji ortogonalnych rozpatruje się również abstrakcyjne przestrzenie unitarne wielomianów, czy dowolnych funkcji, gdzie mówi się o wielomianach ortonormalnych i funkcjach ortonormalnych.