Funkcja półciągła

Półciągłość - w analizie matematycznej, własność funkcji określonych w przestrzeniach metryczych o wartościach rzeczywistych, słabsza od ciągłości.

Wykres funkcji półciągłej z dołu w x₀.

Wykres funkcji półciągłej z góry w x₀.

Definicja

Niech $(X,\varrho)$ będzie przestrzenią metryczną, $x_0\in X$ oraz niech dana będzie funkcja $f\colon X\to \mathbb{R}$. Mówimy, że $f$ jest:

• półciągła z dołu w punkcie $x_0$ jeśli $\liminf_{\varrho(x,x_0)\to 0}f(x)\geqslant f(x_0)$,
• półciągła z góry w punkcie $x_0$ jeśli $\limsup_{\varrho(x,x_0)\to 0}f(x)\leqslant f(x_0)$.

Mówimy, że $f$ jest półciągła w $D\subseteq X$ jeśli jest półciągła w każdym punkcie zbioru $D$.

Równoczesna połciągłość z góry i z dołu funkcji jest równoważna warunkowi $\lim_{\varrho(x,x_0)\to 0}f(x)= f(x_0)$, a zatem ciągłości funkcji $f$ w punkcie $x_0$. Z własności granic wynika, że $f$ jest półciągła z góry w $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $-f$ jest półciągła z dołu w $x_0$.

Warunki równoważne

Pod powyższymi założeniami następujące warunki są równoważne półciągłości z dołu funkcji $f$ w punkcie $x_0$. Warunki równoważne półciągłości z góry formułuje się analogicznie.

1. $(x_n\to x_0 \wedge f(x_n)\to \lambda)\Rightarrow \lambda\geqslant f(x_0)$,
2. $x_n\to x_0 \Rightarrow \liminf_{n\to\infty}f(x_n)\geqslant f(x_0)$,
3. Jeśli $x_0$ jest punktem skupienia $X$, to $\liminf_{x\to x_0}f(x)\geqslant f(x_0)$,
4. $\bigwedge_{a<f(x_0)}\bigvee_{\delta>0} \varrho(x,x_0)<\delta\Rightarrow a<f(x)$.

Własności

• Kombinacja liniowa o współczynnikach nieujemnych funkcji półciągłych z dołu jest półciągła z dołu.
• Iloczyn funkcji półciągłych z dołu i nieujemnych jest półciągły z dołu.
• Twierdzenie Weierstrassa: Funkcja półciągła z dołu w przestrzeni zwartej osiąga swoje minimum.
• Twierdzenie Baire'a: Każda funkcja półciągła z dołu w przestrzeni $X$ jest granicą rosnącego ciągu funkcji ciągłych.

Przykłady

• Funkcja $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dana wzorem $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1,\; x\geqslant 0\\-1,\; x<0\end{array}\right.$ jest półciągła z góry w $x_0=0$.
• Funkcje podłoga i sufit są półciągłe odpowiednio z góry i z dołu.

Źródła

1. Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 58-63.