Półprosta

Prosta, półprosta i odcinek. Dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw. nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

Półprosta - figura geometryczna składająca się z punktów prostej leżących po jednej stronie punktu prostej, który jest nazywany początkiem półprostej. Bardzo często do tak określonej półprostej dołącza się początek półprostej i mówimy o półprostej domkniętej (z początkiem). W przeciwnym wypadku mówimy o półprostej otwartej (bez początku) .

Półprostą o początku w punkcie A i przechodzącą przez punkt B oznaczamy jako półprostą AB. Niekiedy półprostą nazywa się promieniem. Często wygodnie jest oznaczać przez A/B promień otwarty wychodzący z punktu A i nie przechodzący przez punkt B. Inaczej mówiąc, promień A/B składa się z tych punktów prostej AB, które leżą po przeciwnej stronie punktu A niż punkt B.

Inne definicje półprostej

• Półprostą o początku w punkcie A można też zdefiniować jako maksymalny podzbiór prostej przechodzącej przez punkt A, taki że punkt A należy do tego podzbioru, ale nie leży on między żadnymi dwoma innymi punktami tego podzbioru.
• Półprostą (domkniętą) AB można również zdefiniować jako sumę mnogościową wszystkich odcinków o końcu w punkcie A zawierających punkt B.

Własności

• Zbiór rzędnych punktów danej półprostej jest albo zbiorem jednopunktowym (gdy półprosta jest zawarta w prostej prostopadłej do osi rzędnych), albo przedziałem nieskończonym. To samo można powiedzieć o zbiorze odciętych punktów półprostej.
• Dla każdych dwóch różnych punktów A i B półproste A/B i B/A są rozłączne. Suma mnogościowa tych promieni i odcinka $\overline{A B}$ jest równa prostej AB:

$A/B \cup \overline{A B} \cup B/A = \text{prosta } AB$

• Na zbiorze półprostych (promieni) zawartych w danej prostej można określić relację równoważności R_k. Promienie p₁ i p₂ są w niej równoważne, jeśli jeden z nich jest zawarty w drugim:

$p_1 R_k p_2 \Leftrightarrow p_1 \subset p_2 \vee p_2 \subset p_1$

Relacja ta ma dwie klasy równoważności nazywane kierunkami promieni na tej prostej.

Bibliografia

1. Borsuk Karol, Szmielew Wanda: Podstawy geometrii. Warszawa: PWN, 1970.
2. H. S. M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
3. Ryszard Doman: Wykłady z geometrii elementarnej. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 1998.
4. А. Д. Александров: Основания геометрии. Москва: Наука, 1987.

Zobacz też

• prosta
• odcinek
• kąt