Pęk prostych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niektóre z prostych pęku o środku A

Pęk prostych — zbiór wszystkich prostych, przechodzących przez ustalony punkt, który nazywamy środkiem pęku, lub równoległych do ustalonej prostej (przechodzących przez punkt nieskończoności). W tym drugim przypadku, mówimimy wówczas o niewłaściwym pęku prostych albo kierunku.

Równanie pęku prostych na płaszczyźnie, o środku wyznaczonym przez nierównoległe proste, zapisujemy w postaci:

t_1(A_1x+B_1y+C_1)+t_2(A_2x+B_2y+C_2)=0\;,
gdzie t_1,t_2\in\mathbb{R} spełniają warunek t_1^2+t_2^2>0

Każda prosta przechodząca przez środek pęku da się przedstawić powyższym równaniem (mówimy, że jest współpękowa z wszystkimi prostymi przechodzącymi przez ten punkt) i, na odwrót, każde równanie powyższej postaci przedstawia pewną prostą należącą do pęku.

Jeżeli proste p_1, p_2, p_3 mają odpowiednio równania:

p_1\ :\ A_1x+B_1y+C_1=0
p_2\ :\ A_2x+B_2y+C_2=0
p_3\ :\ A_3x+B_3y+C_3=0

to są one współpękowe (należą do jednego pęku) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją trzy różne od zera liczby l_1, l_2, l_3 takie, że spełnione jest równanie:

l_1(A_1x+B_1y+C_1)+l_2(A_2x+B_2y+C_2)+l_3(A_3x+B_3y+C_3)=0\;

lub równoważnie

\begin{vmatrix}
A_1 & B_1 & C_1\\
A_2 & B_2 & C_2\\
A_3 & B_3 & C_3\\
\end{vmatrix}=0.

Każde dwie proste na jednej płaszczyźnie są współpękowe (gdy są równoległe, to mówimy że są współpękowe w sposób niewłaściwy).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]