Płaszczyzna S

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Płaszczyzna S (lub płaszczyzna s) to termin stosowany w matematyce i inżynierii na określenie płaszczyzny zespolonej, na której przedstawia się wykresy funkcji poddanych przekształceniu Laplace'a. Jest to matematyczna dziedzina, w której zamiast spogladać na procesy w dziedzinie czasu gdzie modeluje się je za pomocą funkcji czasu, widzi się je jako równania w dziedzinie częstotliwości. Płaszczyzna S wykorzystywana jest jako narzędzie analizy graficznej w inżynierii i fizyce.

Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażaniem e^{-st}\, w granicach od -\infty do \infty, gdzie s\, jest liczbą zespoloną.

\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-st}\,dt

Jednym ze sposobów na zrozumienie co otrzymuje się w wyniku takiego działania polega na zwróceniu się ku analizie Fouriera. W analizie Fouriera, krzywe harmoniczne sinus i cosinus mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości). Transformacja 's' wykonuje podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze. Wyrażenie e^{-st}\, ujmuje nie tylko częstotliwości ale również rzeczywiste efekty e^{-t}\,. Transformacja 's' uwzględnia więc nie tylko przebiegi częstotliwościowe ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji 's'. Transformacja Laplace'a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera

Transformacja 's' powszechnie określana jest mianem transformacji Laplace'a. Na płaszczyźnie S, mnożenie przez s\, daje efekt różniczkowania (zob. człon różniczkujący), dzielenie przez s\, daje efekt całkowania (zob. człon całkujący).

Analiza pierwiastków zespolonych równania na płaszczyźnie 's' i przedstawienie ich na wykresie Arganda, może ujawnić informacje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu (przebieg rzeczywistej funkcji czasu).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]