p-grupa

p-grupa (także grupa pierwsza, grupa p-pierwsza) – w teorii grup, grupa, której rząd jest postaci $p^n$, gdzie $p$ jest liczbą pierwszą a $n$ jest dodatnią liczbą całkowitą.

Konkretne wartości $p$ podstawia się do nazwy, np. dla $p=11$ mówi się o 11-grupie.

Podgrupę grupy $G$ nazywa się p-podgrupą, jeżeli jest ona p-grupą. Podgrupę $H$ grupy skończonego rzędu $G$ nazywa się p-podgrupą Sylowa, jeśli jest największego możliwego rzędu. Z twierdzenia Sylowa wynika, że jeśli $|G| = p^k \cdot r$, gdzie $p \not| r$, to $| H | = p^k$.

Własności

• Niech $G$ będzie grupą skończoną oraz $|G|=pq$, gdzie $p, q$ są pewnymi liczbami pierwszymi. Jeżeli $G$ nie zawiera elementu rzędu $pq$, to prawdziwe jest jedno z poniższych stwierdzeń:

1. p-podgrupy Sylowa lub q-podgrupy Sylowa grupy $G$ są abelowe.
2. $G/O_{\{p, q\}'}(G) = M$ oraz $\{p, q\} = \{5, 13\}$ lub $\{p, q\} = \{7, 13\}$, gdzie $M$ jest grupą monstrum.

Twierdzenie o centrum p-grupy

Centrum p-grupy jest nietrywialne, to znaczy, że $Z(G)\neq \{e\}$, gdzie e jest elementem neutralnym p-grupy (jak wiadomo, $e \in Z(G)$).

Dowód. Niech G będzie p-grupą, tj. |G| = p^k dla pewnej liczby k oraz niech funkcja

$\phi\colon G\times G \to G$

dane wzorem

$\phi(g,x)=gxg^{-1}\;$.

Odwzorowanie $\phi$ jest działaniem grupy G na sobie (czyli na zbiorze G)

Ponieważ

$x \in Z(G) \iff \forall_{g\in G} gxg^{-1}=x \iff \forall_{g\in G} \phi(g,x)= x$,

więc orbita G(x) elementu x jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy x jest elementem centrum Z(G).

Jeśli orbita p-grupy G ma więcej niż jeden element, to liczba jej elementów jest podzielna przez p:

$\forall_{x\in G}|G(x)| > 1 \Rightarrow p | |G(x)|$

Istotnie, stabilizator $G_x$ jest wtedy pogrupą G i jego rząd dzieli rząd G (wniosek z twierdzenia Lagrange'a), czyli $|G_x|=p^n$, gdzie n < k (bo gdyby n = k, to orbita byłaby jednoelementowa). Wówczas

$|G(x)| = |G:G_x| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{p^k}{p^n} = p^{k-n} = p^t,$ gdzie t = k - n > 0, czyli p | |G(x)|.

G jest sumą wszystkich orbit, więc:

$G = \bigcup G(x) = \bigcup_{|G(x)| = 1}G(x) \cup \bigcup_{|G(x)| > 1}G(x)$

Stąd

$p^k = |G| = \sum\limits_{|G(x)|=1}|G(x)| + \sum\limits_{|G(x)|>1}|G(x)| = |Z(G)| + p \cdot s$

dla pewnego s. Stąd $p | |Z(G)|$, ale $|Z(G)|>0$ bo $e\in Z(G)$, więc $|Z(G)|\ge p$.

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005;
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4;
• G. Malle, A. Moret'o, G. Navarro, Element orders and Sylow structure of finite groups., Math. Z. 252, No.1, 223-230 (2006); ISSN 0025-5874, ISSN 1432-1823.

Zobacz też

• twierdzenie Sylowa