p-grupa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

p-grupa (także grupa pierwsza, grupa p-pierwsza) – w teorii grup, grupa, której rząd jest postaci p^n, gdzie p jest liczbą pierwszą a n jest dodatnią liczbą całkowitą.

Konkretne wartości p podstawia się do nazwy, np. dla p=11 mówi się o 11-grupie.

Podgrupę grupy G nazywa się p-podgrupą, jeżeli jest ona p-grupą. Podgrupę H grupy skończonego rzędu G nazywa się p-podgrupą Sylowa, jeśli jest największego możliwego rzędu. Z twierdzenia Sylowa wynika, że jeśli  |G| = p^k \cdot r, gdzie p \not| r, to | H | = p^k.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Niech G będzie grupą skończoną oraz |G|=pq, gdzie p, q są pewnymi liczbami pierwszymi. Jeżeli G nie zawiera elementu rzędu pq, to prawdziwe jest jedno z poniższych stwierdzeń:
  1. p-podgrupy Sylowa lub q-podgrupy Sylowa grupy Gabelowe.
  2. G/O_{\{p, q\}'}(G) = M oraz \{p, q\} = \{5, 13\} lub \{p, q\} = \{7, 13\}, gdzie M jest grupą monstrum.

Twierdzenie o centrum p-grupy[edytuj | edytuj kod]

Centrum p-grupy jest nietrywialne, to znaczy, że  Z(G)\neq \{e\}, gdzie e jest elementem neutralnym p-grupy (jak wiadomo, e \in Z(G)).

Dowód. Niech G będzie p-grupą, tj. |G| = pk dla pewnej liczby k oraz niech funkcja

\phi\colon G\times G \to G

dane wzorem

\phi(g,x)=gxg^{-1}\;.

Odwzorowanie \phi jest działaniem grupy G na sobie (czyli na zbiorze G)

Ponieważ

x \in Z(G) \iff \forall_{g\in G}  gxg^{-1}=x \iff \forall_{g\in G}  \phi(g,x)= x,

więc orbita G(x) elementu x jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy x jest elementem centrum Z(G).

Jeśli orbita p-grupy G ma więcej niż jeden element, to liczba jej elementów jest podzielna przez p:

\forall_{x\in G}|G(x)| > 1 \Rightarrow p | |G(x)|

Istotnie, stabilizator G_x jest wtedy pogrupą G i jego rząd dzieli rząd G (wniosek z twierdzenia Lagrange'a), czyli |G_x|=p^n, gdzie n < k (bo gdyby n = k, to orbita byłaby jednoelementowa). Wówczas

|G(x)| = |G:G_x| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{p^k}{p^n} = p^{k-n} = p^t, gdzie t = k - n > 0, czyli p | |G(x)|.

G jest sumą wszystkich orbit, więc:

G = \bigcup G(x) = \bigcup_{|G(x)| = 1}G(x) \cup \bigcup_{|G(x)| > 1}G(x)

Stąd

p^k = |G| = \sum\limits_{|G(x)|=1}|G(x)| + \sum\limits_{|G(x)|>1}|G(x)| = |Z(G)| + p \cdot s

dla pewnego s. Stąd p | |Z(G)|, ale |Z(G)|>0 bo e\in Z(G), więc |Z(G)|\ge p.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005;
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4;
  • G. Malle, A. Moret'o, G. Navarro, Element orders and Sylow structure of finite groups., Math. Z. 252, No.1, 223-230 (2006); ISSN 0025-5874, ISSN 1432-1823.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]