Paczka falowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Paczka falowa nie ulegająca dyspersji

Paczka falowa (pakiet falowy) – fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni. Swobodną paczkę falową można traktować jako superpozycję (złożenie) harmonicznych fal płaskich o różnych częstotliwościach.

W przeciwieństwie do nieskończonych (niezlokalizowanych) obiektów paczka falowa jest obiektem zlokalizowanym. Obiekt taki przemieszcza się w przestrzeni i przenosi informacje, a prędkość z jaką to się odbywa zwana jest prędkością grupową.

Podejście matematyczne[edytuj | edytuj kod]

Przykładem propagacji (rozchodzenia się) fali bez dyspersji jest fala płaska będąca rozwiązaniem równania falowego postaci:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 { \nabla^2 u}

gdzie

  c – prędkość propagacji fali w danym ośrodku,
  u – zmienna charakteryzująca chwilową amplitudę fali w punkcie   x w chwili   t.

Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego jest funkcja propagacji fali płaskiej:

u(\vec{x},t) = e^{i(\vec{k}\vec{x} - \omega t)}

gdzie:

 i jednostka urojona,
 \vec{k}wektor falowy,
 \omega pulsacja (częstość kołowa),

Kwadrat długości wektora falowego  \vec{k} w przypadku przestrzeni 3-wymiarowej jest sumą kwadratów liczb falowych względem poszczególnych osi:

|\vec{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2+ k_z^2

Natomiast kwadrat pulsacji  \omega może być zapisany jako:

 \omega^2 =|\vec{k}|^2 c^2

Powyższa relacja pomiędzy   \omega, a   \vec{k} jest prawdziwa jeśli dana fala płaska jest rozwiązaniem równania falowego. Równanie to opisuje dyspersję fali w ośrodku materialnym.

Można uprościć to rozwiązanie, wybierając układ współrzędnych w taki sposób, aby fala płaska rozchodziła się w kierunku   x . Rozwiązanie równania falowego przyjmuje wtedy postać:

 u(x,t)= A e^{i(k x-\omega t)} + B e^{-i(k x+\omega t)}\,

w którym:

 \omega = kc,\, k = k_x\,

Pierwszy człon powyższego równania reprezentuje propagację fali w kierunku dodatnich   x, jako że jest funkcją   x - ct. Drugi człon zaś, będący funkcją   x + ct, reprezentuje propagację fali w kierunku ujemnych wartości   x.

Jeśli paczka falowa jest silnie zlokalizowana, oznacza to, że ma więcej składowych koniecznych do konstruktywnej interferencji w obszarze paczki, i destruktywnej interferencji w obszarze gdzie następuje wygaszenie.

Przechodząc z dziedziny czasu   t do dziedziny pulsacji   \omega, dokonuje się unitarnej transformacji Fouriera i otrzymuje się uogólnioną postać paczki falowej, poprawną z punktu widzenia podstawowego rozwiązania w 1-wymiarowej przestrzeni:

 u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{-\infty} A(k) ~ e^{i(kx-\omega(k)t)} \,dk

W przypadku gdy:

 \omega(k) = kc \Leftarrow u(x,t) = F(x-ct)

paczka porusza się w kierunku dodatnim, oraz w kierunku ujemnym gdy:

 \omega(k) = -kc \Leftarrow u(x,t) = F(x+ct)

Czynnik stojący przed całką pojawia się tutaj przez wykonanie transformacji Fouriera. Amplituda  A(k) w tym wzorze jest przez zależność dyspersyjną funkcją   \omega. Zawiera ona współczynniki liniowych superpozycji fal płaskich. Współczynniki te mogą zostać wyrażone jako funkcja   u(x,t) ewaluowana w granicy przy  t = 0, z relacji wynikającą z odwrotnej transformacji Fouriera:

 A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{-\infty} u(x,0) ~ e^{-ikx}\,dx .

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]