Parabola (matematyka)

Przykład paraboli

Parabola – krzywa stożkowa utworzona przez przecięcie powierzchni stożkowej (której kierującą jest okrąg) płaszczyzną równoległą do pewnej płaszczyzny stycznej do tej powierzchni stożkowej.

Parabolę można też zdefiniować jako zbiór punktów równoodległych od prostej (zwanej kierownicą paraboli) i punktu (zwanego ogniskiem paraboli).

Definicje i właściwości

W kartezjańskim układzie współrzędnych parabola z osią symetrii równoległą do osi $y\;$, wierzchołkiem o współrzędnych $(h, k)\;$, ogniskiem $(h,k+p)\;$ i kierownicą $y=k-p\;$ opisana jest równaniem

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \,$

lub

$(x - h)^2 = 2d(y - k) \,$

(gdzie $d\;$ jest odległością pomiędzy ogniskiem a kierownicą).

Parabola ma jedną oś symetrii, która przechodzi przez ognisko i wierzchołek i jest prostopadła do kierownicy paraboli.

Tor lotu ciała poruszającego się bez oporu powietrza, ukośnie do linii sił jednorodnego pola grawitacyjnego jest parabolą. Po uwzględnieniu oporu powietrza otrzymujemy balistyczny tor lotu pocisku. Lustra o przekroju paraboli (i symetrii obrotowej) nie posiadają wady aberracji sferycznej przy odbijaniu dostatecznie dalekich obiektów (promienie światła równoległe do osi symetrii lustra po odbiciu od lustra skupiają się w ognisku paraboli).

Właściwości odbijania promieni oraz ognisko (niebieskie) i kierownica (zielona)

Równania

Współrzędne kartezjańskie

Parabola z pionową osią symetrii:

$(x - h)^2 = 4p(y - k).\;$

(1)

Parabola z poziomą osią symetrii:

$(y - h)^2 = 4p(x - k).\;$

(2)

Wykresem dowolnej funkcji kwadratowej

$y = ax^2 + bx + c\;$

(3)

jest parabola z pionową osią symetrii. Analogiczna postać równania paraboli z poziomą osią symetrii:

$x = ay^2 + by + c.\;$

(4)

Związek pomiędzy równaniami (1) i (3) oraz (2) i (4) jest dany przez:

$a = \frac{1}{4p},\;$

$b = -\frac{h}{2p},\;$

$c = \frac{h^2}{4p} + k.\;$

Równanie parametryczne paraboli:

$x = 2pt + h, \,$

$y = pt^2 + k. \,$

Współrzędne biegunowe

We współrzędnych biegunowych parabola z ogniskiem w punkcie $(0,0)\;$ i wierzchołkiem leżącym na ujemnej części osi $x\;$ (będącej osią symetrii paraboli) opisana jest równaniem:

$r (1 - \cos \theta) = \ell. \;$

Ognisko

Parabola o wierzchołku w punkcie $(0,0)\;$ i pionowej osi symetrii, której punkty spełniają równanie

$y = a x^2,\;$

ma ognisko w punkcie $\left(0, {1 \over 4 a }\right).$

Wszystkie promienie światła padające na parabolę równolegle do osi symetrii (na rysunku od góry) po odbiciu się od niej skupiają się właśnie w ognisku. Stanowi to podstawę konstrukcji zwierciadła parabolicznego.

Zobacz też

• krzywa stożkowa
• elipsa
• hiperbola
• paraboloida
• walec paraboliczny