Parabola semikubiczna

Parabole semikubiczne dla różnych wartości parametru a.

Parabola semikubiczna (półsześcienna) – krzywa płaska zdefiniowana parametrycznie jako

$\begin{cases}x = t^2 \\ y = at^3 \end{cases}$.

Parametr może być usunięty, wówczas równanie krzywej ma postać

$y = \pm ax^\tfrac{3}{2}$.

Równanie biegunowe paraboli semikubicznej dane jest wzorem

$r = \frac{\operatorname{tg}^2\,\varphi \sec \varphi}{a}$

Własności

Szczególny przypadek paraboli semikubicznej, nazywany wówczas parabolą Neile'a, może być użyty jako definicja ewoluty paraboli:

$x = \tfrac{3}{4}(2y)^\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{2}.$

Rozwinięcie katakaustyki kubicznej Tschirnhausena ukazje, iż również jest to parabola semikubiczna:

$\begin{cases} x = 3(t^2 - 3) = 3t^2 - 9 \\ y = t(t^2 - 3) = t^3 - 3t \end{cases}$.

Historia

Parabola semikubiczna została odkryta w 1657 roku przez angielskiego matematyka Williama Neile'a (1637-1670). Jej unikatową cechą jest fakt, że cząsteczka poruszająca się jej torem przy jednoczesnym ciągnięciu w dół przez grawitację przemierza równe odcinki pionowe w równych odstępach czasu. Była to pierwsza obok równania liniowego krzywa, dla której obliczono jej długość łuku.

Zobacz też

• lista krzywych