Paradoks Banacha-Tarskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Paradoks Banacha–Tarskiego: Kula może być pocięta na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kule identyczne z kulą wyjściową

Paradoks Banacha–Tarskiego (Hausdorffa–Banacha–Tarskiego) – słynne paradoksalne twierdzenie teorii mnogości sformułowane i udowodnione przez polskich matematyków Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w roku 1924.

Pozorny paradoks polega na tym, że korzystając z pewnika wyboru można zwykłą trójwymiarową kulę "rozciąć" na skończoną liczbę części, a następnie używając wyłącznie obrotów i translacji złożyć dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Nie jest to jednak istotna sprzeczność, jako że części tego podziału nie są mierzalne w sensie Lebesgue'a (nie da się określić ich objętości), więc naturalna argumentacja oparta na intuicjach związanych z objętością przedmiotów w świecie rzeczywistym nie ma tu zastosowania.

Podobnie nieintuicyjnym wydaje się wariant twierdzenia Banacha-Tarskiego, z którego wynika, że ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca. I tutaj nie ma żadnej sprzeczności – kawałki podziału są niemierzalne (należy zauważyć, że podział fizycznego ziarnka grochu na niemierzalne części jest niemożliwy w świecie rzeczywistym).

Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki mają duże znaczenie we współczesnej matematyce, jako że wskazują one ograniczenia na możliwe rozszerzenia miary Lebesgue'a niezmiennicze względem pewnych przekształceń przestrzeni euklidesowych[1].

Warto tu zacytować motto z jednej książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego[1]:

Delijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy?
Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza Apolla, zachowując jego kształt sześcianu!
Banach i Tarski: Czy możemy użyć aksjomatu wyboru?

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Wstępne przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każde dwa nietrywialne odcinki na prostej rzeczywistejrównoliczne (w ZF) i funkcja ustalająca równoliczność jest bardzo porządna (np. w przypadku dwóch przedziałów otwartych może to być funkcja liniowa). Zatem każdy nietrywialny odcinek może być podzielony na dwie rozłączne części (odcinki) i każda z tych części może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na odcinek wyjściowy. Podobna obserwacja ma miejsce w odniesieniu do prostokątów, prostopadłościanów i wielu innych figur geometrycznych.
e^{2\pi ri}\cong e^{2\pi si} wtedy i tylko wtedy gdy r-s jest liczbą wymierną.
Zakładając aksjomat wyboru, możemy znaleźć zbiór M\subseteq O, który jest selektorem klas abstrakcji relacji \cong. Zatem zbiór M spełnia następujące dwa warunki:
(a) (\forall s,t\in M)(s\neq t\ \Rightarrow\ s\not\cong t) oraz
(b) (\forall s\in O)(\exists t\in M)(s\cong t).
Przedstawmy zbiór liczb wymiernych w przedziale [0,1) jako sumę {\mathbb Q}\cap [0,1)=A\cup B dwóch zbiorów nieskończonych. Wówczas każdy ze zbiorów A,B jest równoliczny ze zbiorem {\mathbb Q}\cap [0,1), a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne f_A:A\longrightarrow {\mathbb Q}\cap [0,1) i f_B:B\longrightarrow {\mathbb Q}\cap [0,1). Rozważmy zbiory
M_A=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge\ q\in A\} i M_B=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge\ q\in B\}.
Wówczas O=M_A\cup M_B, M_A\cap M_B=\emptyset oraz funkcje
\varphi_A:M_A\longrightarrow O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_A(q)i}\cdot t i
\varphi_B:M_B\longrightarrow O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_B(q)i}\cdot t
są bijekcjami.

W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, jednak nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są powiększone/rozdmuchane przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy istnieją podobne rozkłady z dodatkową własnością, taką że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na metryki naturalne).

  • Zbiór Vitalego, dyskutowany wcześniej, pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć okrąg wyjściowy, używając tylko obrotów. Niech zbiór M będzie wybrany jak powyżej. Dla q\in {\mathbb Q}\cap [0,1) połóżmy M^q=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\}. Wówczas \{M^q:q\in {\mathbb Q}\cap [0,1)\} jest przeliczalną rodziną parami rozłącznych podzbiorów okręgu O. Przypuśćmy, że A\subseteq {\mathbb Q}\cap [0,1) jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję f_A:A\longrightarrow {\mathbb Q}\cap [0,1) i zauważmy że
O=\bigcup\limits_{q\in A} F_q[M^q], gdzie F_q:O\longrightarrow O:e^{2\pi ri}\mapsto e^{2\pi(r+f_A(q)-q)i} jest obrotem o kąt (f_A(q)-q)\cdot 2\pi.
  • Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych. Niech
Z=\{a_0+a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in {\mathbb N}\ \wedge\ a_0,\ldots,a_k\in {\mathbb N}\},
Z_0=\{a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in {\mathbb N}\setminus\{0\} \wedge\ a_1,\ldots,a_k\in {\mathbb N}\},
Z_+=\{a_0+a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in {\mathbb N}\ \wedge\ a_0,\ldots,a_k\in {\mathbb N}\ \wedge\ a_0>0\}.
Można łatwo sprawdzić, że Z=Z_0\cup Z_+, Z_0\cap Z_+=\emptyset (przypomnijmy, że e^i jest liczbą przestępną) oraz
F_0[Z_0]=Z gdzie F_0:z\mapsto e^{-i}\cdot z jest obrotem, a
F_+[Z_+]=Z gdzie F_+:z\mapsto z-1 jest przesunięciem.

Rozkłady paradoksalne[edytuj | edytuj kod]

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy, że grupa G działa na zbiorze X.

  • Powiemy, że zbiór A\subseteq X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G , jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory B_0,\ldots,B_n,C_0,\ldots,C_m\subseteq A (gdzie n,m\in {\mathbb N}) oraz elementy g_0,\ldots,g_n,h_0,\ldots,h_m grupy G, takie że
A=\bigcup\limits_{i=0}^n g_i[B_i] oraz A=\bigcup\limits_{j=0}^m h_j[C_j].

Intuicyjnie, A jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można podzielić zbiór A na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kopie zbioru A, używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy G.

  • Zbiór A\subseteq X jest σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy G , jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory B_0,B_1\ldots,C_0,C_1\ldots\subseteq A oraz elementy g_0,g_1,\ldots,h_0,h_1\ldots grupy G, takie że
A=\bigcup\limits_{i=0}^\infty g_i[B_i] oraz A=\bigcup\limits_{j=0}^\infty h_j[C_j].
  • Niech A,B\subseteq X. Powiemy, że zbiory A i Bkawałkami G-równoważne, jeśli można wybrać A_0,A_1,\ldots, A_n\subseteq A, B_0,B_1,\ldots, B_n\subseteq B, n\in {\mathbb N}, oraz g_0,g_1,\ldots,g_n\in G, tak że
(a) A_i\cap A_j=\emptyset=B_i\cap B_j dla i<j\leqslant n,
(b)  A = \bigcup_{i=0}^n A_i,  B= \bigcup_{i=0}^n B_i
(c) g_i(A_i)=B_i dla każdego i\leqslant n.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów SO_2 okręgu. (Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.)
  • Zbiór Z podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny.
Zbiory S(a-1) i aS(a-1) zaznaczone na grafie Cayleya grupy wolnej F2
Animacja dowodu twierdzenia Banacha-Tarskiego za pomocą grafu Cayleya opartego na fraktalu
  • Rozważmy grupę wolną F_2 o dwóch generatorach a i b działającą na sobie przez mnożenie z lewej strony. (Tak więc elementowi g\in F_2 odpowiada bijekcja F_2\ni h\mapsto g h\in F_2.) Dla x\in \{a,a^{-1},b,b^{-1}\} niech S(x) będzie zbiorem wszystkich elementów grupy F_2 (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od x. Zauważmy, że
F_2=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1}) i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz
F_2=aS(a^{-1})\cup S(a) i F_2=bS(b^{-1})\cup S(b).
Zatem F_2 jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy F_2.

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn. są to twierdzenia ZFC).

  • Przypuśćmy, że
(a) grupa G działa na zbiorze X w taki sposób że żadne z odwzorowań X\ni x\mapsto g(x)\in X nie ma punktów stałych (dla g\in G),
(b) G jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy G (przez mnożenie z lewej strony).
Wówczas zbiór X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G.
  • Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna F_2 działa na zbiorze X w taki sposób, że żadne z odwzorowań X\ni x\mapsto g(x)\in X nie ma punktów stałych (dla g\in F_2), to zbiór X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy F_2.
  • Istnieje przeliczalny podzbiór D sfery jednostkowej S_2 taki, że zbiór S_2\setminus D jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów SO_3.
  • Jeśli D\subseteq S_2 jest przeliczalny, to zbiory S_2 i S_2\setminus D kawałkami SO_3-równoważne.

Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego:

  • Sfera jednostkowa S_2 jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów SO_3.

Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia. Niech I_3 będzie grupą izometrii przestrzeni {\mathbb R}^3.

  • Każda kula w {\mathbb R}^3 jest paradoksalna ze względu na działanie grupy I_3. Również sama przestrzeń {\mathbb R}^3 jest paradoksalna ze względu na działanie tej grupy.
  • Jeśli A,B\subseteq {\mathbb R}^3zbiorami ograniczonymi o niepustych wnętrzach, to zbiory A, B są kawałkami I_3-równoważne.
Wikimedia Commons

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Wagon, Stan: The Banach-Tarski paradox. "Encyclopedia of Mathematics and its Applications", 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ISBN 0-521-30244-7.
  2. Vitali, Giuseppe: Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna: Gamberini e Parmeggiani, 1905.
  3. Mazurkiewicz, Stefan; Sierpiński, Wacław: Sur un ensemble superposable avec chacune de ses deux parties. "C. R. Acad. Sci. Paris."158 (1914), s. 618-619.
  4. Hausdorff, Felix: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. "Math. Ann." 75 (1915), s. 428-433.
  5. Banach, Stefan; Tarski, Alfred: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, "Fundamenta Mathematicae" 6 (1924), s. 244-277. Dostępna w formacie pdf tutaj.
  6. Pawlikowski, Janusz: The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. "Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), s. 21-22.
  7. Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. "J. Amer. Math. Soc." 7 (1994), s. 75-124.
  8. Galileo Galilei. Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]