Paradoks zbioru wszystkich zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Paradoks zbioru wszystkich zbiorówparadoks teorii mnogości odkryty w 1899 przez Cantora:

Przypuśćmy, że Z to zbiór wszystkich zbiorów, czyli Z={X:1}.

Na mocy twierdzenia Cantora można udowodnić, że zbiór potęgowy dowolnego zbioru X (zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X) ma moc większą od mocy X.

A zatem zbiór potęgowy z Z ma moc wiekszą od mocy Z, co jest niemożliwe, gdyż z definicji Z jego zbiór potęgowy także się w nim zawiera.

Paradoks ten jest po prostu dowodem, mówiącym, że nie ma zbioru wszystkich zbiorów. Było to jednak stwierdzenie o tyle paradoksalne, iż twórcy teorii mnogości nie widzieli żadnych podstaw, aby uniknąć jego istnienia. W końcu okazało się, że problem leżał w nieścisłym określeniu pojęcia zbioru. Skuteczna aksjomatyka teorii mnogości pozwoliła zbudować spójną teorię wolną od paradoksów.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]