Sygnał okresowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Sygnał okresowo zmienny – pojęcie stosowane w elektronice, telekomunikacji, elektrotechnice, akustyce, automatyce, fizyce i innych dziedzinach nauki i techniki. Oznaczające sygnał zależny od czasu, którego wartości powtarzają się w ustalonych odstępach czasu będących wielokrotnościami pewnego czasu zwanego okresem. Sygnał okresowo zmienny można opisać okresową funkcją matematyczną.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Sygnałem okresowo zmiennym nazywa się każdą wielkość fizyczną x(t), zależną od czasu, jeżeli spełnia ona warunek

 x(t) = x(t+kT)\,
gdzie k = 1,2... zaś T jest ustaloną wartością (okresem sygnału).

Oznacza to, że wartości sygnału powtarzają się w odstępach czasu będących wielokrotnościami T. Sygnał taki jest funkcją okresową czasu.

Okres i częstotliwość[edytuj | edytuj kod]

Najmniejszą wartość T o tej własności nazywamy okresem podstawowym lub okresem sygnału. Z okresem związana jest częstotliwość f i pulsacja \omega (częstość kołowa):

f = \frac{1}{T}

oraz

\omega = {2}\cdot{\pi}\cdot f

Składowe harmoniczne[edytuj | edytuj kod]

Sygnał okresowo zmienny można przedstawić w postaci szeregu Fouriera, który może być zapisany na przykład w następującej postaci:

x(t)=X_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}\cdot\sin(n{\omega}t+\varphi_{n})

gdzie:

X_0 - składowa stała
X_n - amplituda n-tej harmonicznej
\phi_n - przesunięcie fazowe n-tej harmonicznej

Pierwsza harmoniczna nosi też nazwę składowej podstawowej. Sygnał, który zawiera tylko jedną harmoniczną, jest sygnałem sinusoidalnym o amplitudzie X1

Wartość szczytowa[edytuj | edytuj kod]

Wartość szczytowa (ang. peak value), zwana też wartością maksymalną sygnału, jest określona jako:

X_{max}=max|x(t)|\,

Wartość maksymalna sygnału sinusoidalnego nie posiadającego składowej stałej jest równa amplitudzie tego sygnału. Stosowane też bywa podobne pojęcie wartości międzyszczytowej (ang. peak-to-peak value):

X_{pp}=max|x(t)>0| + max|x(t)<0|\,

Dla sygnału sinusoidalnego wartość międzyszczytowa jest równa podwojonej amplitudzie.

Wartość średnia[edytuj | edytuj kod]

Wartość średnia sygnału jest określona wzorem:

X_{m} = \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T}\,x(t)dt

Tak określona wartość średnia jest tożsama ze składową stałą X0 szeregu Fouriera tego sygnału (patrz wyżej). Sygnał okresowy symetryczny względem osi x=0 ma wartość średnią równą zeru, toteż używa się także średniej z wartości bezwzględnej (w matematyce i teorii sygnałów: pierwszy moment absolutny, w elektrotechnice: wartość średnia sygnału wyprostowanego), która dla sygnałów nierównych tożsamościowo zeru ma wartość dodatnią:

X_{e}=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}\,|x(t)|dt

Wartość skuteczna[edytuj | edytuj kod]

Wartość skuteczna (ang. RMS value) określa parametry energetyczne sygnału. W elektrotechnice najczęściej podajemy tę właśnie wartość (jeżeli mowa jest o prądzie lub napięciu zmiennym bez dodania określeń: średnie, chwilowe, maksymalne itp. - oznacza to, że mowa jest o wartości skutecznej). Jest ona określona wzorem:

X_{sk}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}\,x^{2}(t)dt}

Wartość skuteczną można też wyrazić poprzez amplitudy składowych harmonicznych (współczynniki rozwinięcia sygnału w szereg Fouriera - patrz wyżej):

X_{sk}=\sqrt{X_{0}^{2}+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}^{2}}

(Powyższy wzór jest treścią tożsamości Parsevala w teorii szeregów Fouriera)

Współczynniki bezwymiarowe[edytuj | edytuj kod]

Współczynnik kształtu[edytuj | edytuj kod]

Współczynnik kształtu (ang. waveform factor) jest stosunkiem wartości skutecznej do średniej z wartości bezwzględnej: k_{k}=\frac{X_{sk}}{X_{e}}

Współczynnik szczytu[edytuj | edytuj kod]

Współczynnik szczytu (ang. crest factor) podaje stosunek wartości maksymalnej (szczytowej) do wartości skutecznej sygnału: k_{sz}=\frac{X_{max}}{X_{sk}}

Współczynnik zawartości harmonicznych[edytuj | edytuj kod]

Współczynnik zawartości harmonicznych, mierzy w pewien sposób odchyłkę sygnału od przebiegu sinusoidalnego. Stosowane są dwie różne definicje tego współczynnika:

h_{1}=\frac{\sqrt{\sum\limits_{n=2}^{\infty}X_{n}^{2}}}{X_{1}}

lub:

h_{2}=\frac{\sqrt{\sum\limits_{n=2}^{\infty}X_{n}^{2}}}{\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}^{2}}}

(ta ostatnia wielkość bywa też nazywana współczynnikiem zniekształceń)

Wartości parametrów dla wybranych sygnałów okresowych[edytuj | edytuj kod]

Poniższa tabela podaje wartości wymienionych wyżej parametrów dla wybranych przebiegów okresowych. Przyjęto, że przebiegi pokazane w tabeli mają jednostkową wartość szczytową (amplitudę).

Rodzaj sygnału Postać sygnału Wartość średnia bezwzględna Wartość skuteczna Współczynnik kształtu Współczynnik szczytu Współczynnik zawartości harmonicznych
h_1 h_2
Sygnał stały (DC) _ 1 1 1 1 nieokreślony nieokreślony
Sinusoidalny
Sinusoida
\frac{2}{\pi}\approx 0,637 \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707 \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\approx 1,11 \sqrt{2}\approx 1,414 0 0
Sinusoidalny wyprostowany dwupołówkowo
Sinusoida wyprostowana dwupołówkowo
\frac{2}{\pi}\approx 0,637 \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707 \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\approx 1,11 \sqrt{2}\approx 1,414 \approx 0,225 \approx 0,219
Sinusoidalny wyprostowany jednopołówkowo
Sinusoida wyprostowana jednopołówkowo
\frac{1}{\pi}\approx 0,318 \frac{1}{2} = 0,5 \frac{\pi}{2}\approx 1,571 2 \approx 0,441 \approx 0,404
Trójkątny symetryczny
Przebieg trójkątny
\frac{1}{2} = 0,5 \frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577 \frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,155 \sqrt{3}\approx 1,732 \sqrt{\frac{\pi^4}{96}-1}\approx 0,121 \sqrt{1-\frac{96}{\pi^4}}\approx 0,120
Prostokątny symetryczny
(współczynnik wypełnienia 50%)
Sygnał prostokątny
1 1 1 1 \sqrt{\frac{\pi^2}{8}-1}\approx 0,483 \sqrt{1-\frac{8}{\pi^2}}\approx 0,435
Piłokształtny
Sygnał piłokształtny
\frac{1}{2} = 0,5 \frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577 \frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,155 \sqrt{3}\approx 1,732 \sqrt{\frac{\pi^2}{6}-1}\approx 0,803 \sqrt{1-\frac{6}{\pi^2}}\approx 0,626

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]